ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №12 — параболы

Разбор — 1 балл

Чтобы найти точку пересечения графиков, сначала восстановим уравнение параболы по трём отмеченным на рисунке точкам.

По рисунку график функции $g(x)=a{x}^2+bx+c$ проходит через точки $(1;4)$, $(2;5)$ и $(3;2)$. Подставим их координаты в уравнение:

$$\{\begin{array}{l}a+b+c=4,\\ 4a+2b+c=5,\\ 9a+3b+c=2.\end{array}$$

Вычтем первое уравнение из второго и из третьего:

$$\{\begin{array}{l}3a+b=1,\\ 8a+2b=-2.\end{array}$$

Умножим первое из этих уравнений на $2$ и вычтем из второго:

$$(8a+2b)-(6a+2b)=-2-2\iff 2a=-4\Rightarrow a=-2.$$

Тогда из $3a+b=1$ получаем $b=1-3a=1+6=7$. Подставим $a=-2$ и $b=7$ в первое уравнение исходной системы:

$$-2+7+c=4\Rightarrow c=-1.$$

Значит,

$$g(x)=-2x^2+7x-1.$$

Уравнение прямой дано в условии: $f(x)=5x-13$. Найдём точки пересечения, решив уравнение $f(x)=g(x)$:

$$5x-13=-2x^2+7x-1\iff 2x^2-2x-12=0\iff x^2-x-6=0.$$

Один из корней этого уравнения соответствует отмеченной на рисунке точке $A$, то есть равен $3$. По теореме Виета произведение корней равно $-6$, поэтому второй корень (абсцисса точки $B$) равен $\frac{-6}{3}=-2$.

Ответ: $-2$.