ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №12 — параболы

Разбор — 1 балл

Чтобы восстановить уравнение функции, найдём основание $a$ по отмеченной на графике точке.

По рисунку график проходит через точку $(1;3)$. Подставим её в уравнение $f(x)=a^{x-2}$:

$$f(1)=a^{1-2}=a^{-1}=3\Rightarrow a=\frac{1}{3}.$$

Значит, $f(x)={\left(\frac{1}{3}\right)}^{x-2}$. Решим уравнение $f(x)=27$:

$${\left(\frac{1}{3}\right)}^{x-2}=27.$$

Представим $27$ как степень с тем же основанием $\frac{1}{3}$: так как ${\left(\frac{1}{3}\right)}^{-3}=3^3=27$, уравнение принимает вид

$${\left(\frac{1}{3}\right)}^{x-2}={\left(\frac{1}{3}\right)}^{-3}.$$

Показательная функция с основанием $\frac{1}{3}$ ($0<\frac{1}{3}<1$, $\frac{1}{3}\ne 1$) принимает каждое значение ровно один раз, поэтому равенство степеней означает равенство показателей:

$$x-2=-3\Rightarrow x=-1.$$

Ответ: $-1$.