ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №12 — параболы

Разбор — 1 балл

На рисунке изображены две параболы, и нам нужно понять, какая из них соответствует $f(x)$, а какая — $g(x)=-2x^2+4x+3$. У функции $g(x)$ коэффициент при $x^2$ отрицателен, значит, её ветви направлены вниз. Следовательно, другая парабола на рисунке — с ветвями вверх — это график $f(x)=a{x}^2+bx+c$, и у неё $a>0$.

По рисунку график $f(x)$ проходит через точки $A(0;3)$, $(1;-1)$ и $(2;1)$. Подставим их координаты в уравнение функции:

$$f(0)=c=3,$$

$$f(1)=a+b+c=-1\Rightarrow a+b=-4,$$

$$f(2)=4a+2b+c=1\Rightarrow 4a+2b=-2\Rightarrow 2a+b=-1.$$

Вычтем из второго уравнения первое:

$$(2a+b)-(a+b)=-1-(-4)\iff a=3.$$

Тогда $b=-4-a=-4-3=-7$. Значит,

$$f(x)=3x^2-7x+3.$$

Найдём точки пересечения $f(x)$ и $g(x)$, решив уравнение $f(x)=g(x)$:

$$3x^2-7x+3=-2x^2+4x+3\iff 5x^2-11x=0\iff x(5x-11)=0.$$

Корни уравнения — $x=0$ и $x=\frac{11}{5}=2,2$. Значение $x=0$ соответствует точке $A$, значит, $x_B=2,2$.

Найдём $y_B$, подставив $x_B$ в уравнение $g(x)$:

$$y_B=-2\cdot 2,2^2+4\cdot 2,2+3=-9,68+8,8+3=2,12.$$

Ответ: $2,12$.