ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №12 — параболы

Разбор — 1 балл

Чтобы найти точки пересечения, сначала восстановим уравнение параболы по трём отмеченным на рисунке точкам.

По рисунку график функции $g(x)=a{x}^2+bx+c$ проходит через точки $(-1;-2)$, $(1;4)$ и $(3;2)$. Подставим их координаты в уравнение:

$$\{\begin{array}{l}a-b+c=-2,\\ a+b+c=4,\\ 9a+3b+c=2.\end{array}$$

Вычтем первое уравнение из второго:

$$2b=6\Rightarrow b=3.$$

Сложим первое и второе уравнения:

$$2a+2c=2\Rightarrow c=1-a.$$

Подставим $b=3$ и $c=1-a$ в третье уравнение:

$$9a+9+(1-a)=2\iff 8a+10=2\iff a=-1.$$

Тогда $c=1-(-1)=2$, и уравнение параболы:

$$g(x)=-x^2+3x+2.$$

По условию $A(-1;-2)$ — одна из точек пересечения параболы $g(x)$ и прямой $f(x)=-2x-4$. Найдём вторую, решив уравнение $f(x)=g(x)$:

$$-2x-4=-x^2+3x+2\iff x^2-5x-6=0.$$

Один из корней этого уравнения соответствует точке $A$, то есть равен $-1$. По теореме Виета произведение корней равно $-6$, поэтому второй корень (абсцисса точки $B$) равен $\frac{-6}{-1}=6$.

Найдём ординату точки $B$, подставив $x_0=6$ в уравнение прямой:

$$y_0=-2\cdot 6-4=-16.$$

Ответ: $-16$.