ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №12 — параболы

Разбор — 1 балл

Чтобы найти точку пересечения, восстановим уравнения параболы и прямой по рисунку, а затем решим систему.

По рисунку парабола пересекает ось абсцисс в точках $0$ и $4$, поэтому её уравнение можно записать в виде $f(x)=ax(x-4)$, где $a$ — старший коэффициент. Парабола проходит через точку $(5;5)$:

$$f(5)=a\cdot 5\cdot (5-4)=5a=5\Rightarrow a=1.$$

Значит, $f(x)=x(x-4)=x^2-4x$.

Прямая $g(x)=kx$ проходит через точку $(1;3)$:

$$g(1)=k=3.$$

Значит, $g(x)=3x$.

Найдём точки пересечения, решив уравнение $f(x)=g(x)$:

$$x^2-4x=3x\iff x^2-7x=0\iff x(x-7)=0.$$

Корни уравнения — $0$ и $7$. Корень $0$ соответствует точке $A$ (парабола и прямая пересекаются в начале координат), значит, абсцисса точки $B$ равна $7$.

Ответ: $7$.