ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №12 — гиперболы

Разбор — 1 балл

Чтобы найти точку пересечения графиков, составим уравнения обеих функций по отмеченным на рисунке точкам, а затем решим систему.

По рисунку гипербола проходит через точку $A(-5;-2)$. Подставим её координаты в уравнение $f(x)=\frac{k}{x}$:

$$\frac{k}{-5}=-2\Rightarrow k=10.$$

Значит, $f(x)=\frac{10}{x}$.

Прямая $g(x)=ax+b$ проходит через точки $(0;-1)$ и $A(-5;-2)$. Из первой точки сразу получаем $b=-1$. Подставим вторую точку:

$$-2=a\cdot (-5)+(-1)\Rightarrow -5a=-1\Rightarrow a=\frac{1}{5}.$$

Значит, $g(x)=\frac{x}{5}-1$.

Найдём точки пересечения графиков, решив уравнение $f(x)=g(x)$:

$$\frac{10}{x}=\frac{x}{5}-1.$$

Умножим обе части на $5x\ne 0$:

$$50=x^2-5x\iff x^2-5x-50=0.$$

По теореме Виета сумма корней равна $5$, а произведение — $-50$: корни $-5$ и $10$. Корень $-5$ соответствует точке $A$, значит, абсцисса точки $B$ равна $10$.

Ответ: $10$.