ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №12 — логарифмические функции

Функция $f(x)=c+{\log }_{a}x$ определена при условии $a>0$, $a\ne 1$. По рисунку график проходит через точки с целыми координатами $(1;-3)$ и $(4;-1)$. Подставим их в уравнение функции:

$$\{\begin{array}{l}c+{\log }_{a}1=-3,\\ c+{\log }_{a}4=-1.\end{array}$$

Так как ${\log }_{a}1=0$ при любом допустимом $a$, из первого уравнения сразу получаем $c=-3$. Подставим это значение во второе уравнение:

$$-3+{\log }_{a}4=-1⟹{\log }_{a}4=2⟹a^2=4⟹a=2$$

(отрицательное значение не подходит, так как основание логарифма положительно). Значит, $f(x)=-3+{\log }_{2}x$.

Решим уравнение $f(x)=1$:

$$-3+{\log }_{2}x=1⟹{\log }_{2}x=4⟹x=2^4=16.$$

Ответ: $16$.