ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №12 — параболы

Разбор — 1 балл

По рисунку парабола $g(x)=a{x}^2+bx+c$ проходит через три точки с целыми координатами: $(-1;8)$, $(1;2)$ и $(3;4)$. Подставим координаты каждой точки в уравнение параболы — получим систему из трёх уравнений:

$$\{\begin{array}{l}a-b+c=8,\\ a+b+c=2,\\ 9a+3b+c=4.\end{array}$$

Вычтем первое уравнение из второго и из третьего, чтобы избавиться от $c$:

$$\{\begin{array}{l}2b=-6,\\ 8a+4b=-4.\end{array}$$

Из первого уравнения $b=-3$. Подставим во второе:

$$8a-12=-4⟹a=1.$$

Из первого уравнения исходной системы $c=8-a+b=8-1-3=4$. Значит, $g(x)=x^2-3x+4$.

Теперь найдём точки пересечения параболы с прямой $f(x)=-3x+13$, приравняв правые части:

$$x^2-3x+4=-3x+13⟹x^2-9=0⟹x=\pm 3.$$

По рисунку точка $A$ — это точка с абсциссой $3$, значит, точка $B$ имеет абсциссу $-3$. Найдём её ординату по уравнению прямой:

$$f(-3)=-3\cdot (-3)+13=9+13=22.$$

Ответ: $22$.