ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №12 — гиперболы

Разбор — 1 балл

По рисунку график гиперболы $f(x)=\frac{k}{x}$ проходит через точку $A(-4;-3)$. Подставим её координаты:

$$f(-4)=\frac{k}{-4}=-3,$$

откуда $k=12$. Значит, $f(x)=\frac{12}{x}$.

Прямая $g(x)=ax+b$ проходит через точки $(0;-1)$ и $(-4;-3)$ (вторая точка — это $A$). Подставим координаты $(0;-1)$:

$$g(0)=b=-1.$$

Подставим координаты точки $A(-4;-3)$:

$$g(-4)=-4a+b=-3,-4a-1=-3,-4a=-2,a=\frac{1}{2}.$$

Значит, $g(x)=\frac{x}{2}-1$.

Чтобы найти точки пересечения графиков $f$ и $g$, решим уравнение:

$$\frac{12}{x}=\frac{x}{2}-1.$$

Умножим обе части на $2x\ne 0$:

$$24=x^2-2x,x^2-2x-24=0.$$

Найдём дискриминант:

$$D=2^2+4\cdot 24=4+96=100=10^2.$$

Корни:

$$x_1=\frac{2+10}{2}=6,x_2=\frac{2-10}{2}=-4.$$

Корень $x=-4$ соответствует уже известной точке $A$, значит, абсцисса точки $B$ равна $6$.

Ответ: $6$.