ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №10 — тригонометрическая зависимость

Задача из открытого банка ФИПИ с ответом и разбором. Введи ответ — проверим сразу.

1 балл на ЕГЭ 1 часть экзамена

№10 Тригонометрическая зависимость средняя 2025

Датчик сконструирован таким образом, что его антенна ловит радиосигнал, который затем преобразуется в электрический сигнал, изменяющийся со временем по закону $U = U_{0} cos (ω t + φ)$ где $t$ — время в секундах, $U_{0} = 2 B$ — амплитуда, $ω = 12 0^{\circ} / с$ — частота, $φ = - 9 0^{\circ}$ — фаза. Датчик настроен так, что если напряжение в нём не ниже чем 1 В, то загорается лампочка. Какую часть времени (в процентах) на протяжении первой секунды после начала работы лампочка будет гореть?

Разбор — 1 балл

Переведём угловые величины в радианы: $ω = 12 0^{\circ} / с = \frac{2 π}{3} с^{- 1}$ , $φ = - 9 0^{\circ} = - \frac{π}{2}$ . Лампочка горит при $U ⩾ 1$ , поэтому составим неравенство:

$1 ⩽ 2 cos (\frac{2 π}{3} t - \frac{π}{2}) ⟹ cos (\frac{2 π}{3} t - \frac{π}{2}) ⩾ \frac{1}{2} .$

Неравенство $cos x ⩾ \frac{1}{2}$ выполняется при $x \in [- \frac{π}{3} + 2 π k; \frac{π}{3} + 2 π k]$ , $k \in Z$ , поэтому

$- \frac{π}{3} + 2 π k ⩽ \frac{2 π}{3} t - \frac{π}{2} ⩽ \frac{π}{3} + 2 π k .$

Добавим ко всем частям $\frac{π}{2}$ :

$\frac{π}{6} + 2 π k ⩽ \frac{2 π}{3} t ⩽ \frac{5 π}{6} + 2 π k .$

Разделим все части на $\frac{2 π}{3}$ :

$\frac{1}{4} + 3 k ⩽ t ⩽ \frac{5}{4} + 3 k, k \in Z .$

На первой секунде работы датчика, то есть при $t \in [0; 1]$ , подходит только $k = 0$ : промежуток $[\frac{1}{4}; \frac{5}{4}]$ пересекается с $[0; 1]$ по

$t \in [\frac{1}{4}; 1] .$

Значит, лампочка горит $1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$ первой секунды, то есть $75%$ времени.

Ответ: $75$ .

Ещё задания №10

10-028A, лёгкая

При сближении источника и приёмника звуковых сигналов, движущихся в некоторой среде по прямой навстречу друг другу, частота звукового сигнала, регистрируемого приёмником, не совпадает с частотой исходного сигнала $f_{0} = 140$ Гц и определяется следующим выражением: $f = f_{0} \frac{c + u}{c - v}$ (Гц), где $c$ — скорость распространения сигнала в среде (в м/с), а $u = 9$ м/с и $v = 13$ м/с — скорости приёмника и источника относительно среды соответственно. При какой максимальной скорости $c$ (в м/с) распространения сигнала в среде частота сигнала в приёмнике $f$ будет не менее $145$ Гц?

10-02XA, лёгкая

Автомобиль разгоняется на прямолинейном участке шоссе с постоянным ускорением $a км / ч^{2}$ . Скорость вычисляется по формуле $v = 2 l a$ , где $l$ — пройденный автомобилем путь. Найдите ускорение, с которым должен двигаться автомобиль, чтобы, проехав $0, 2$ километра, приобрести скорость $80$ км/ч. Ответ выразите в км/ч $^{2}$ .

10-0EDA, средняя

Мячик бросают под острым углом $α$ к поверхности земли. Расстояние, которое пролетает мячик до падения, равно $\frac{v _{0}^{2}}{g} sin 2 α$ м, где $v_{0} = 16$ м/с — начальная скорость мячика, а $g = 10 м / с^{2}$ — ускорение свободного падения. Под каким наименьшим углом нужно бросить мячик, чтобы он пролетел $12, 8$ м? Ответ дайте в градусах.

Как решать №10 Решать дальше №10