ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №10 — тригонометрическая зависимость

Задача из открытого банка ФИПИ с ответом и разбором. Введи ответ — проверим сразу.

1 балл на ЕГЭ 1 часть экзамена

№10 Тригонометрическая зависимость средняя 2024

Скорость колеблющегося на пружине груза меняется по закону $v (t) = 10 sin \frac{π t}{5}$ (см/с), где t — время в секундах. Какую долю времени первых трёх секунд скорость движения превышала $5$ см/с? Ответ выразите десятичной дробью, если нужно, округлите до сотых.

Разбор — 1 балл

По условию скорость груза меняется по закону $v (t) = 10 sin \frac{π t}{5}$ . Нужно узнать, какую часть промежутка $t \in [0; 3]$ составляют моменты, когда $v (t) > 5$ .

Запишем это требование как неравенство и упростим его, разделив обе части на 10:

$10 sin \frac{π t}{5} > 5 ⟺ sin \frac{π t}{5} > \frac{1}{2} .$

Введём обозначение $x = \frac{π t}{5}$ . Когда $t$ пробегает отрезок $[0; 3]$ , величина $x$ пробегает отрезок $[0; \frac{3 π}{5}]$ (это чуть больше $10 8^{\circ}$ ). На всей числовой прямой неравенство $sin x > \frac{1}{2}$ выполняется на промежутках $(\frac{π}{6} + 2 π k; \frac{5 π}{6} + 2 π k)$ . Нам подходит промежуток $(\frac{π}{6}; \frac{5 π}{6})$ , но правый конец нашего отрезка $\frac{3 π}{5}$ меньше $\frac{5 π}{6}$ , поэтому в пределах $[0; \frac{3 π}{5}]$ неравенство выполняется при

$\frac{π}{6} < x ⩽ \frac{3 π}{5} .$

Возвращаемся к переменной $t$ , подставляя $x = \frac{π t}{5}$ :

$\frac{π}{6} < \frac{π t}{5} ⩽ \frac{3 π}{5} .$

Разделим все части на $π$ , а затем умножим на 5:

$\frac{1}{6} < \frac{t}{5} ⩽ \frac{3}{5} ⟹ \frac{5}{6} < t ⩽ 3.$

Значит, скорость превышает 5 см/с на промежутке длиной $3 - \frac{5}{6} = \frac{13}{6}$ секунд. Общая продолжительность рассматриваемого промежутка равна 3 секунды, поэтому искомая доля равна

$\frac{13/6}{3} = \frac{13}{18} \approx 0, 7222.$

Округлив до сотых, получаем 0,72.

Ответ: $0, 72$ .

Ещё задания №10

10-028A, лёгкая

При сближении источника и приёмника звуковых сигналов, движущихся в некоторой среде по прямой навстречу друг другу, частота звукового сигнала, регистрируемого приёмником, не совпадает с частотой исходного сигнала $f_{0} = 140$ Гц и определяется следующим выражением: $f = f_{0} \frac{c + u}{c - v}$ (Гц), где $c$ — скорость распространения сигнала в среде (в м/с), а $u = 9$ м/с и $v = 13$ м/с — скорости приёмника и источника относительно среды соответственно. При какой максимальной скорости $c$ (в м/с) распространения сигнала в среде частота сигнала в приёмнике $f$ будет не менее $145$ Гц?

10-02XA, лёгкая

Автомобиль разгоняется на прямолинейном участке шоссе с постоянным ускорением $a км / ч^{2}$ . Скорость вычисляется по формуле $v = 2 l a$ , где $l$ — пройденный автомобилем путь. Найдите ускорение, с которым должен двигаться автомобиль, чтобы, проехав $0, 2$ километра, приобрести скорость $80$ км/ч. Ответ выразите в км/ч $^{2}$ .

10-0EDA, средняя

Мячик бросают под острым углом $α$ к поверхности земли. Расстояние, которое пролетает мячик до падения, равно $\frac{v _{0}^{2}}{g} sin 2 α$ м, где $v_{0} = 16$ м/с — начальная скорость мячика, а $g = 10 м / с^{2}$ — ускорение свободного падения. Под каким наименьшим углом нужно бросить мячик, чтобы он пролетел $12, 8$ м? Ответ дайте в градусах.

Как решать №10 Решать дальше №10