ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №10 — тригонометрическая зависимость

Задача из открытого банка ФИПИ с ответом и разбором. Введи ответ — проверим сразу.

1 балл на ЕГЭ 1 часть экзамена

№10 Тригонометрическая зависимость средняя 2024

Скорость колеблющегося на пружине груза меняется по закону $v (t) = 8 sin \frac{π t}{3}$ (см/с), где $t$ — время в секундах. Какую долю времени первой секунды скорость движения превышала 4 см/с? Ответ выразите десятичной дробью, если нужно, округлите до сотых.

Разбор — 1 балл

Скорость груза меняется по закону $v (t) = 8 sin \frac{π t}{3}$ . Найдём, при каких $t$ скорость превышает $4$ см/с:

$8 sin \frac{π t}{3} > 4,$

$sin \frac{π t}{3} > 0, 5.$

Обозначим $x = \frac{π t}{3}$ . По условию $0 ⩽ t ⩽ 1$ , значит $x$ меняется от $0$ до $\frac{π}{3}$ (это $6 0^{\circ}$ ). На промежутке от $0$ до $π$ неравенство $sin x > 0, 5$ выполняется при $x \in (\frac{π}{6}; \frac{5 π}{6})$ , а значит на интересующем нас отрезке $[0; \frac{π}{3}]$ — только при

$x > \frac{π}{6} .$

Вернёмся к переменной $t$ : условие $\frac{π t}{3} > \frac{π}{6}$ равносильно $t > 0, 5$ . Вместе с ограничением $t ⩽ 1$ получаем промежуток

$0, 5 < t ⩽ 1.$

Длина этого промежутка равна $1 - 0, 5 = 0, 5$ с, а длина всей первой секунды равна $1$ с. Значит, искомая доля времени равна

$\frac{0 , 5}{1} = 0, 5.$

Ответ: $0, 5$ .

Ещё задания №10

10-028A, лёгкая

При сближении источника и приёмника звуковых сигналов, движущихся в некоторой среде по прямой навстречу друг другу, частота звукового сигнала, регистрируемого приёмником, не совпадает с частотой исходного сигнала $f_{0} = 140$ Гц и определяется следующим выражением: $f = f_{0} \frac{c + u}{c - v}$ (Гц), где $c$ — скорость распространения сигнала в среде (в м/с), а $u = 9$ м/с и $v = 13$ м/с — скорости приёмника и источника относительно среды соответственно. При какой максимальной скорости $c$ (в м/с) распространения сигнала в среде частота сигнала в приёмнике $f$ будет не менее $145$ Гц?

10-02XA, лёгкая

Автомобиль разгоняется на прямолинейном участке шоссе с постоянным ускорением $a км / ч^{2}$ . Скорость вычисляется по формуле $v = 2 l a$ , где $l$ — пройденный автомобилем путь. Найдите ускорение, с которым должен двигаться автомобиль, чтобы, проехав $0, 2$ километра, приобрести скорость $80$ км/ч. Ответ выразите в км/ч $^{2}$ .

10-0EDA, средняя

Мячик бросают под острым углом $α$ к поверхности земли. Расстояние, которое пролетает мячик до падения, равно $\frac{v _{0}^{2}}{g} sin 2 α$ м, где $v_{0} = 16$ м/с — начальная скорость мячика, а $g = 10 м / с^{2}$ — ускорение свободного падения. Под каким наименьшим углом нужно бросить мячик, чтобы он пролетел $12, 8$ м? Ответ дайте в градусах.

Как решать №10 Решать дальше №10