ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №10 — квадратичная и кубическая зависимость

Задача из открытого банка ФИПИ с ответом и разбором. Введи ответ — проверим сразу.

1 балл на ЕГЭ 1 часть экзамена

№10 Квадратичная и кубическая зависимость средняя 2025

Зависимость объёма спроса $q$ (единиц в месяц) на продукцию предприятия-монополиста от цены $p$ (тыс. руб. за ед.) задаётся формулой $q = 75 - 5 p$ . Выручка предприятия $r$ (в тыс. руб. за месяц) вычисляется по формуле $r (p) = q \cdot p$ . Определите наибольшую цену $p$ , при которой месячная выручка $r (p)$ составит не менее $180$ тыс.руб. Ответ дайте в тыс.руб. за ед.

Разбор — 1 балл

Выручка предприятия вычисляется по формуле $r (p) = q \cdot p$ , где $q = 75 - 5 p$ . Подставим это выражение:

$r (p) = (75 - 5 p) p = 75 p - 5 p^{2} .$

По условию выручка должна быть не менее $180$ тыс. руб., то есть $r (p) ⩾ 180$ :

$75 p - 5 p^{2} ⩾ 180.$

Перенесём все члены в левую часть и умножим неравенство на $- 1$ (знак меняется), затем разделим на $5$ :

$5 p^{2} - 75 p + 180 ⩽ 0,$

$p^{2} - 15 p + 36 ⩽ 0.$

Найдём корни трёхчлена $p^{2} - 15 p + 36 = 0$ : дискриминант $D = 1 5^{2} - 4 \cdot 36 = 225 - 144 = 81$ , $D = 9$ , поэтому

$p = \frac{15 \pm 9}{2}, p_{1} = 12, p_{2} = 3.$

Квадратный трёхчлен с положительным коэффициентом при $p^{2}$ не превосходит нуля между корнями, то есть при $3 ⩽ p ⩽ 12$ .

Наибольшая цена, при которой месячная выручка составит не менее $180$ тыс. руб., равна $12$ тыс. руб.

Ответ: $12$ .

Ещё задания №10

10-028A, лёгкая

При сближении источника и приёмника звуковых сигналов, движущихся в некоторой среде по прямой навстречу друг другу, частота звукового сигнала, регистрируемого приёмником, не совпадает с частотой исходного сигнала $f_{0} = 140$ Гц и определяется следующим выражением: $f = f_{0} \frac{c + u}{c - v}$ (Гц), где $c$ — скорость распространения сигнала в среде (в м/с), а $u = 9$ м/с и $v = 13$ м/с — скорости приёмника и источника относительно среды соответственно. При какой максимальной скорости $c$ (в м/с) распространения сигнала в среде частота сигнала в приёмнике $f$ будет не менее $145$ Гц?

10-02XA, лёгкая

Автомобиль разгоняется на прямолинейном участке шоссе с постоянным ускорением $a км / ч^{2}$ . Скорость вычисляется по формуле $v = 2 l a$ , где $l$ — пройденный автомобилем путь. Найдите ускорение, с которым должен двигаться автомобиль, чтобы, проехав $0, 2$ километра, приобрести скорость $80$ км/ч. Ответ выразите в км/ч $^{2}$ .

10-0EDA, средняя

Мячик бросают под острым углом $α$ к поверхности земли. Расстояние, которое пролетает мячик до падения, равно $\frac{v _{0}^{2}}{g} sin 2 α$ м, где $v_{0} = 16$ м/с — начальная скорость мячика, а $g = 10 м / с^{2}$ — ускорение свободного падения. Под каким наименьшим углом нужно бросить мячик, чтобы он пролетел $12, 8$ м? Ответ дайте в градусах.

Как решать №10 Решать дальше №10