ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №10 — квадратичная и кубическая зависимость

Задача из открытого банка ФИПИ с ответом и разбором. Введи ответ — проверим сразу.

1 балл на ЕГЭ 1 часть экзамена

№10 Квадратичная и кубическая зависимость средняя 2023

Для нагревательного элемента некоторого прибора экспериментально была получена зависимость температуры (в К) от времени работы: $T (t) = T_{0} + b t + a t^{2}$ , где $t$ — время (в мин.), $T_{0} = 700$ К, $a = - 15$ К/мин $^{2}$ , $b = 210$ К/мин. При температуре нагревательного элемента свыше $1300$ К прибор может испортиться, поэтому его нужно отключить. Найдите, через какое наибольшее время после начала работы нужно отключить прибор. Ответ дайте в минутах.

Разбор — 1 балл

Температура нагревательного элемента меняется по закону $T (t) = T_{0} + b t + a t^{2}$ . Подставим $T_{0} = 700$ К, $a = - 15$ К/мин², $b = 210$ К/мин:

$T (t) = 700 + 210 t - 15 t^{2} .$

Найдём момент, когда температура становится равной критической — $1300$ К:

$700 + 210 t - 15 t^{2} = 1300.$

Перенесём все слагаемые в одну сторону и разделим обе части на $- 15$ :

$- 15 t^{2} + 210 t - 600 = 0 \Rightarrow t^{2} - 14 t + 40 = 0.$

Дискриминант $D = 1 4^{2} - 4 \cdot 40 = 196 - 160 = 36$ , $D = 6$ , поэтому

$t = \frac{14 \pm 6}{2}, t_{1} = 10, t_{2} = 4.$

Парабола $T (t)$ направлена ветвями вниз, её максимум — в вершине $t_{верш} = - \frac{210}{2 \cdot ( - 15 )} = 7$ мин. Между моментами $4$ и $10$ минут температура превышает $1300$ К, а вне этого промежутка — не превышает. Значит впервые элемент достигает $1300$ К при $t = 4$ , и именно тогда прибор нужно отключить.

Прибор нужно отключить через $4$ минуты после начала работы.

Ответ: $4$ .

Ещё задания №10

10-028A, лёгкая

При сближении источника и приёмника звуковых сигналов, движущихся в некоторой среде по прямой навстречу друг другу, частота звукового сигнала, регистрируемого приёмником, не совпадает с частотой исходного сигнала $f_{0} = 140$ Гц и определяется следующим выражением: $f = f_{0} \frac{c + u}{c - v}$ (Гц), где $c$ — скорость распространения сигнала в среде (в м/с), а $u = 9$ м/с и $v = 13$ м/с — скорости приёмника и источника относительно среды соответственно. При какой максимальной скорости $c$ (в м/с) распространения сигнала в среде частота сигнала в приёмнике $f$ будет не менее $145$ Гц?

10-02XA, лёгкая

Автомобиль разгоняется на прямолинейном участке шоссе с постоянным ускорением $a км / ч^{2}$ . Скорость вычисляется по формуле $v = 2 l a$ , где $l$ — пройденный автомобилем путь. Найдите ускорение, с которым должен двигаться автомобиль, чтобы, проехав $0, 2$ километра, приобрести скорость $80$ км/ч. Ответ выразите в км/ч $^{2}$ .

10-0EDA, средняя

Мячик бросают под острым углом $α$ к поверхности земли. Расстояние, которое пролетает мячик до падения, равно $\frac{v _{0}^{2}}{g} sin 2 α$ м, где $v_{0} = 16$ м/с — начальная скорость мячика, а $g = 10 м / с^{2}$ — ускорение свободного падения. Под каким наименьшим углом нужно бросить мячик, чтобы он пролетел $12, 8$ м? Ответ дайте в градусах.

Как решать №10 Решать дальше №10