ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №10 — квадратичная и кубическая зависимость

Задача из открытого банка ФИПИ с ответом и разбором. Введи ответ — проверим сразу.

1 балл на ЕГЭ 1 часть экзамена

№10 Квадратичная и кубическая зависимость средняя 2026

Для сматывания кабеля на заводе используют лебёдку, которая равноускоренно наматывает кабель на катушку. Угол поворота катушки, на который наматывается кабель, изменяется со временем по закону $φ = ω t + \frac{β t ^{2}}{2},$ где $t$ — время (в минутах) от начала работы лебёдки, $ω = 5 0^{\circ}$ /мин — начальная угловая скорость вращения катушки, а $β = 5^{\circ}$ /мин $^{2}$ — угловое ускорение, с которым наматывается кабель. Рабочий должен проверить ход его намотки не позже того момента, когда угол намотки $φ$ достигнет $75 0^{\circ} .$ Определите время после начала работы лебёдки, не позже которого рабочий должен проверить её работу. Ответ дайте в минутах.

Разбор — 1 балл

Угол поворота катушки вычисляется по формуле $φ = ω t + \frac{β t ^{2}}{2}$ . Условие «проверить не позже, чем угол достигнет $75 0^{\circ}$ » означает неравенство $φ ⩽ 750$ . Подставим $ω = 5 0^{\circ}$ /мин и $β = 5^{\circ}$ /мин²:

$50 t + \frac{5 t ^{2}}{2} ⩽ 750.$

Умножим обе части на $2$ и перенесём все члены в одну сторону:

$5 t^{2} + 100 t - 1500 ⩽ 0 \Rightarrow t^{2} + 20 t - 300 ⩽ 0.$

Найдём корни трёхчлена $t^{2} + 20 t - 300 = 0$ : дискриминант $D = 2 0^{2} + 4 \cdot 300 = 400 + 1200 = 1600 = 4 0^{2}$ , поэтому

$t = \frac{- 20 \pm 40}{2}, t_{1} = 10, t_{2} = - 30.$

Значит, неравенство можно записать как $(t + 30) (t - 10) ⩽ 0$ . Решим его методом интервалов:

Метод интервалов

Рисунок к решению

Получаем $- 30 ⩽ t ⩽ 10$ . Время не может быть отрицательным, поэтому остаётся

$0 ⩽ t ⩽ 10.$

Рабочий должен проверить работу лебёдки не позже чем через $10$ минут после её запуска.

Ответ: $10$ .

Ещё задания №10

10-028A, лёгкая

При сближении источника и приёмника звуковых сигналов, движущихся в некоторой среде по прямой навстречу друг другу, частота звукового сигнала, регистрируемого приёмником, не совпадает с частотой исходного сигнала $f_{0} = 140$ Гц и определяется следующим выражением: $f = f_{0} \frac{c + u}{c - v}$ (Гц), где $c$ — скорость распространения сигнала в среде (в м/с), а $u = 9$ м/с и $v = 13$ м/с — скорости приёмника и источника относительно среды соответственно. При какой максимальной скорости $c$ (в м/с) распространения сигнала в среде частота сигнала в приёмнике $f$ будет не менее $145$ Гц?

10-02XA, лёгкая

Автомобиль разгоняется на прямолинейном участке шоссе с постоянным ускорением $a км / ч^{2}$ . Скорость вычисляется по формуле $v = 2 l a$ , где $l$ — пройденный автомобилем путь. Найдите ускорение, с которым должен двигаться автомобиль, чтобы, проехав $0, 2$ километра, приобрести скорость $80$ км/ч. Ответ выразите в км/ч $^{2}$ .

10-0EDA, средняя

Мячик бросают под острым углом $α$ к поверхности земли. Расстояние, которое пролетает мячик до падения, равно $\frac{v _{0}^{2}}{g} sin 2 α$ м, где $v_{0} = 16$ м/с — начальная скорость мячика, а $g = 10 м / с^{2}$ — ускорение свободного падения. Под каким наименьшим углом нужно бросить мячик, чтобы он пролетел $12, 8$ м? Ответ дайте в градусах.

Как решать №10 Решать дальше №10