ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №10 — рациональная зависимость

Задача из открытого банка ФИПИ с ответом и разбором. Введи ответ — проверим сразу.

1 балл на ЕГЭ 1 часть экзамена

№10 Рациональная зависимость средняя

Для получения на экране увеличенного изображения лампочки в лаборатории используется собирающая линза с фокусным расстоянием $f = 30$ см. Расстояние $d_{1}$ от линзы до лампочки может изменяться в пределах от 20 см до 40 см, а расстояние $d_{2}$ от линзы до экрана — в пределах от 160 см до 180 см. Изображение на экране будет чётким, если выполнено соотношение

$\frac{1}{d _{1}} + \frac{1}{d _{2}} = \frac{1}{f} .$

На каком наименьшем расстоянии от линзы нужно разместить лампочку, чтобы её изображение на экране было чётким? Ответ дайте в сантиметрах.

Разбор — 1 балл

Условие чёткого изображения даёт соотношение $\frac{1}{d _{1}} + \frac{1}{d _{2}} = \frac{1}{f}$ при $f = 30$ см. Выразим $d_{2}$ через $d_{1}$ :

$\frac{1}{d _{2}} = \frac{1}{30} - \frac{1}{d _{1}} = \frac{d _{1} - 30}{30 d _{1}}, d_{2} = \frac{30 d _{1}}{d _{1} - 30} .$

Действительное изображение на экране образуется только при $d_{1} > f = 30$ см, поэтому знаменатель $d_{1} - 30$ положителен. По условию $d_{2}$ должно лежать в пределах от $160$ до $180$ см:

$160 ⩽ \frac{30 d _{1}}{d _{1} - 30} ⩽ 180.$

Решим левую часть неравенства, умножив её на положительный знаменатель $d_{1} - 30$ :

$30 d_{1} ⩾ 160 (d_{1} - 30),$

$30 d_{1} ⩾ 160 d_{1} - 4800,$

$4800 ⩾ 130 d_{1}, d_{1} ⩽ \frac{480}{13} \approx 36, 92.$

Теперь решим правую часть:

$30 d_{1} ⩽ 180 (d_{1} - 30),$

$30 d_{1} ⩽ 180 d_{1} - 5400,$

$5400 ⩽ 150 d_{1}, d_{1} ⩾ 36.$

Объединяя оба условия, получаем $36 ⩽ d_{1} ⩽ \frac{480}{13}$ . Этот промежуток лежит внутри допустимого для $d_{1}$ диапазона от $20$ до $40$ см, значит наименьшее возможное расстояние от линзы до лампочки равно $36$ см.

Ответ: $36$ .

Ещё задания №10

10-028A, лёгкая

При сближении источника и приёмника звуковых сигналов, движущихся в некоторой среде по прямой навстречу друг другу, частота звукового сигнала, регистрируемого приёмником, не совпадает с частотой исходного сигнала $f_{0} = 140$ Гц и определяется следующим выражением: $f = f_{0} \frac{c + u}{c - v}$ (Гц), где $c$ — скорость распространения сигнала в среде (в м/с), а $u = 9$ м/с и $v = 13$ м/с — скорости приёмника и источника относительно среды соответственно. При какой максимальной скорости $c$ (в м/с) распространения сигнала в среде частота сигнала в приёмнике $f$ будет не менее $145$ Гц?

10-02XA, лёгкая

Автомобиль разгоняется на прямолинейном участке шоссе с постоянным ускорением $a км / ч^{2}$ . Скорость вычисляется по формуле $v = 2 l a$ , где $l$ — пройденный автомобилем путь. Найдите ускорение, с которым должен двигаться автомобиль, чтобы, проехав $0, 2$ километра, приобрести скорость $80$ км/ч. Ответ выразите в км/ч $^{2}$ .

10-0EDA, средняя

Мячик бросают под острым углом $α$ к поверхности земли. Расстояние, которое пролетает мячик до падения, равно $\frac{v _{0}^{2}}{g} sin 2 α$ м, где $v_{0} = 16$ м/с — начальная скорость мячика, а $g = 10 м / с^{2}$ — ускорение свободного падения. Под каким наименьшим углом нужно бросить мячик, чтобы он пролетел $12, 8$ м? Ответ дайте в градусах.

Как решать №10 Решать дальше №10