ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №10 — показательная зависимость

Задача из открытого банка ФИПИ с ответом и разбором. Введи ответ — проверим сразу.

1 балл на ЕГЭ 1 часть экзамена

№10 Показательная зависимость лёгкая

В ходе распада радиоактивного изотопа его масса уменьшается по закону $m = m_{0} \cdot 2^{- \frac{t}{T}}$ , где $m_{0}$ — начальная масса изотопа, $t$ — время, прошедшее от начального момента, $T$ — период полураспада. В начальный момент времени масса изотопа 100 мг. Период его полураспада составляет 2 мин. Найдите, через сколько минут масса изотопа будет равна 12,5 мг.

Разбор — 1 балл

Масса изотопа убывает по закону $m = m_{0} \cdot 2^{- t / T}$ . Подставим начальную массу $m_{0} = 100$ мг, период полураспада $T = 2$ мин и конечную массу $m = 12, 5$ мг:

$100 \cdot 2^{- t /2} = 12, 5.$

Разделим обе части на $100$ :

$2^{- t /2} = \frac{12 , 5}{100} = 0, 125.$

Заметим, что $0, 125 = \frac{1}{8} = 2^{- 3}$ , поэтому

$2^{- t /2} = 2^{- 3} .$

Показательная функция с основанием $2$ взаимно однозначна, значит показатели равны:

$- \frac{t}{2} = - 3, t = 6.$

Масса изотопа станет равной $12, 5$ мг через $6$ минут.

Ответ: $6$ .

Ещё задания №10

10-028A, лёгкая

При сближении источника и приёмника звуковых сигналов, движущихся в некоторой среде по прямой навстречу друг другу, частота звукового сигнала, регистрируемого приёмником, не совпадает с частотой исходного сигнала $f_{0} = 140$ Гц и определяется следующим выражением: $f = f_{0} \frac{c + u}{c - v}$ (Гц), где $c$ — скорость распространения сигнала в среде (в м/с), а $u = 9$ м/с и $v = 13$ м/с — скорости приёмника и источника относительно среды соответственно. При какой максимальной скорости $c$ (в м/с) распространения сигнала в среде частота сигнала в приёмнике $f$ будет не менее $145$ Гц?

10-02XA, лёгкая

Автомобиль разгоняется на прямолинейном участке шоссе с постоянным ускорением $a км / ч^{2}$ . Скорость вычисляется по формуле $v = 2 l a$ , где $l$ — пройденный автомобилем путь. Найдите ускорение, с которым должен двигаться автомобиль, чтобы, проехав $0, 2$ километра, приобрести скорость $80$ км/ч. Ответ выразите в км/ч $^{2}$ .

10-0EDA, средняя

Мячик бросают под острым углом $α$ к поверхности земли. Расстояние, которое пролетает мячик до падения, равно $\frac{v _{0}^{2}}{g} sin 2 α$ м, где $v_{0} = 16$ м/с — начальная скорость мячика, а $g = 10 м / с^{2}$ — ускорение свободного падения. Под каким наименьшим углом нужно бросить мячик, чтобы он пролетел $12, 8$ м? Ответ дайте в градусах.

Как решать №10 Решать дальше №10