ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №10 — рациональная зависимость

Задача из открытого банка ФИПИ с ответом и разбором. Введи ответ — проверим сразу.

1 балл на ЕГЭ 1 часть экзамена

№10 Рациональная зависимость средняя

Перед отправкой тепловоз издал гудок с частотой $f_{0} = 192 Гц$ . Чуть позже гудок издал подъезжающий к платформе тепловоз. Из-за эффекта Доплера частота второго гудка $f$ (в Гц) больше первого: она зависит от скорости тепловоза $v$ (в м/с) по закону $f (v) = \frac{f _{0}}{1 - \frac{v}{c}}$ (Гц), где $c$ — скорость звука (в м/с). Человек, стоящий на платформе, различает сигналы по тону, если они отличаются не менее чем на 8 Гц. Определите, с какой минимальной скоростью приближался к платформе тепловоз, если человек смог различить сигналы, а $c = 300 м / с$ . Ответ дайте в $м / с$ .

Разбор — 1 балл

Частота приближающегося тепловоза вычисляется по формуле $f (v) = \frac{f _{0}}{1 - \frac{v}{c}}$ . Человек различает сигналы, если их частоты отличаются не менее чем на $8$ Гц, то есть $f - f_{0} ⩾ 8$ . Подставим $f_{0} = 192$ Гц:

$\frac{192}{1 - \frac{v}{300}} - 192 ⩾ 8.$

Перенесём $192$ в правую часть:

$\frac{192}{1 - \frac{v}{300}} ⩾ 200.$

Разделим обе части на $192$ :

$\frac{1}{1 - \frac{v}{300}} ⩾ \frac{200}{192} = \frac{25}{24} .$

Так как скорость тепловоза меньше скорости звука, $v < 300$ , и выражение $1 - \frac{v}{300}$ положительно. Перевернём обе части неравенства (при переходе к обратным величинам знак меняется):

$1 - \frac{v}{300} ⩽ \frac{24}{25} .$

Отсюда

$\frac{v}{300} ⩾ 1 - \frac{24}{25} = \frac{1}{25},$

$v ⩾ \frac{300}{25} = 12.$

Минимальная скорость, с которой приближался тепловоз, равна $12$ м/с.

Ответ: $12$ .

Ещё задания №10

10-028A, лёгкая

При сближении источника и приёмника звуковых сигналов, движущихся в некоторой среде по прямой навстречу друг другу, частота звукового сигнала, регистрируемого приёмником, не совпадает с частотой исходного сигнала $f_{0} = 140$ Гц и определяется следующим выражением: $f = f_{0} \frac{c + u}{c - v}$ (Гц), где $c$ — скорость распространения сигнала в среде (в м/с), а $u = 9$ м/с и $v = 13$ м/с — скорости приёмника и источника относительно среды соответственно. При какой максимальной скорости $c$ (в м/с) распространения сигнала в среде частота сигнала в приёмнике $f$ будет не менее $145$ Гц?

10-02XA, лёгкая

Автомобиль разгоняется на прямолинейном участке шоссе с постоянным ускорением $a км / ч^{2}$ . Скорость вычисляется по формуле $v = 2 l a$ , где $l$ — пройденный автомобилем путь. Найдите ускорение, с которым должен двигаться автомобиль, чтобы, проехав $0, 2$ километра, приобрести скорость $80$ км/ч. Ответ выразите в км/ч $^{2}$ .

10-0EDA, средняя

Мячик бросают под острым углом $α$ к поверхности земли. Расстояние, которое пролетает мячик до падения, равно $\frac{v _{0}^{2}}{g} sin 2 α$ м, где $v_{0} = 16$ м/с — начальная скорость мячика, а $g = 10 м / с^{2}$ — ускорение свободного падения. Под каким наименьшим углом нужно бросить мячик, чтобы он пролетел $12, 8$ м? Ответ дайте в градусах.

Как решать №10 Решать дальше №10