Для нагревательного элемента некоторого прибора экспериментально была получена зависимость температуры (в К) от времени работы… — 10 задание ЕГЭ профиль

№10 Квадратичная и кубическая зависимость средняя

Для нагревательного элемента некоторого прибора экспериментально была получена зависимость температуры (в К) от времени работы:

$T (t) = T_{0} + b t + a t^{2},$

где $t$ — время (в мин.), $T_{0} = 1380 К$ , $a = - 15 К / мин^{2}$ , $b = 165 К / мин$ . Известно, что при температуре нагревательного элемента свыше 1800 К прибор может испортиться, поэтому его нужно отключить. Найдите, через какое наибольшее время после начала работы нужно отключить прибор. Ответ дайте в минутах.

Разбор — 1 балл

Температура нагревательного элемента меняется по закону $T (t) = T_{0} + b t + a t^{2}$ . Подставим $T_{0} = 1380$ К, $a = - 15$ К/мин², $b = 165$ К/мин:

$T (t) = 1380 + 165 t - 15 t^{2} .$

Найдём момент, когда температура становится равной критической — $1800$ К:

$1380 + 165 t - 15 t^{2} = 1800.$

Перенесём все слагаемые в одну сторону и разделим обе части на $- 15$ :

$- 15 t^{2} + 165 t - 420 = 0 \Rightarrow t^{2} - 11 t + 28 = 0.$

Дискриминант $D = 1 1^{2} - 4 \cdot 28 = 121 - 112 = 9$ , $D = 3$ , поэтому

$t = \frac{11 \pm 3}{2}, t_{1} = 7, t_{2} = 4.$

График $T (t)$ — парабола с ветвями вниз (коэффициент при $t^{2}$ отрицателен), значит у температуры есть единственный максимум — в вершине $t_{верш} = - \frac{b}{2 a} = - \frac{165}{- 30} = 5, 5$ мин. Между найденными моментами ( $4$ и $7$ минутами) температура превышает $1800$ К, достигая пика в точке $5, 5$ ; вне этого промежутка она меньше критической. Значит впервые элемент нагревается до $1800$ К при $t = 4$ — именно в этот момент прибор нужно отключить, не дожидаясь дальнейшего роста температуры.

Прибор нужно отключить через $4$ минуты после начала работы.

Ответ: $4$ .

ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №10 — квадратичная и кубическая зависимость

Сообщить об ошибке

Ещё задания №10