ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №10 — степенная зависимость

Задача из открытого банка ФИПИ с ответом и разбором. Введи ответ — проверим сразу.

1 балл на ЕГЭ 1 часть экзамена

№10 Степенная зависимость средняя 2024

Для определения эффективной температуры звёзд используют закон Стефана-Больцмана, согласно которому $P = σ S T^{4},$ где $P$ — мощность излучения звезды в ваттах, $σ = 5, 7 \cdot 1 0^{- 8}$ $\frac{Вт}{м ^{2} \cdot К ^{4}}$ — постоянная Стефана-Больцмана, $S$ — площадь поверхности звезды в квадратных метрах, $T$ — температура в кельвинах.

Известно, что площадь поверхности некоторой звезды равна $\frac{1}{8} \cdot 1 0^{20}$ $м^{2}$ , а мощность её излучения равна $2, 9184 \cdot 1 0^{27}$ Вт. Найдите температуру этой звезды в кельвинах.

Разбор — 1 балл

Закон Стефана — Больцмана $P = σ S T^{4}$ связывает мощность излучения с температурой звезды. Выразим отсюда четвёртую степень температуры:

$T^{4} = \frac{P}{σ S} .$

Подставим $P = 2, 9184 \cdot 1 0^{27}$ Вт, $σ = 5, 7 \cdot 1 0^{- 8}$ Вт/(м²·К⁴) и $S = \frac{1}{8} \cdot 1 0^{20}$ м²:

$T^{4} = \frac{2 , 9184 \cdot 1 0 ^{27}}{5 , 7 \cdot 1 0 ^{- 8} \cdot \frac{1}{8} \cdot 1 0 ^{20}} .$

Знаменатель равен $5, 7 \cdot 1 0^{- 8} \cdot \frac{1}{8} \cdot 1 0^{20} = \frac{5 , 7}{8} \cdot 1 0^{12}$ . Чтобы не работать с дробями, умножим числитель и знаменатель на $8$ :

$T^{4} = \frac{2 , 9184 \cdot 8 \cdot 1 0 ^{27}}{5 , 7 \cdot 1 0 ^{12}} = \frac{23 , 3472}{5 , 7} \cdot 1 0^{15} = 4, 096 \cdot 1 0^{15} .$

Представим это число как четвёртую степень: $4, 096 \cdot 1 0^{15} = 4096 \cdot 1 0^{12}$ , а $4096 = 8^{4}$ и $1 0^{12} = (1 0^{3})^{4}$ . Значит,

$T^{4} = (8 \cdot 1 0^{3})^{4},$

откуда

$T = 8 \cdot 1 0^{3} = 8000.$

Температура звезды равна $8000$ К.

Ответ: $8000$ .

Ещё задания №10

10-028A, лёгкая

При сближении источника и приёмника звуковых сигналов, движущихся в некоторой среде по прямой навстречу друг другу, частота звукового сигнала, регистрируемого приёмником, не совпадает с частотой исходного сигнала $f_{0} = 140$ Гц и определяется следующим выражением: $f = f_{0} \frac{c + u}{c - v}$ (Гц), где $c$ — скорость распространения сигнала в среде (в м/с), а $u = 9$ м/с и $v = 13$ м/с — скорости приёмника и источника относительно среды соответственно. При какой максимальной скорости $c$ (в м/с) распространения сигнала в среде частота сигнала в приёмнике $f$ будет не менее $145$ Гц?

10-02XA, лёгкая

Автомобиль разгоняется на прямолинейном участке шоссе с постоянным ускорением $a км / ч^{2}$ . Скорость вычисляется по формуле $v = 2 l a$ , где $l$ — пройденный автомобилем путь. Найдите ускорение, с которым должен двигаться автомобиль, чтобы, проехав $0, 2$ километра, приобрести скорость $80$ км/ч. Ответ выразите в км/ч $^{2}$ .

10-0EDA, средняя

Мячик бросают под острым углом $α$ к поверхности земли. Расстояние, которое пролетает мячик до падения, равно $\frac{v _{0}^{2}}{g} sin 2 α$ м, где $v_{0} = 16$ м/с — начальная скорость мячика, а $g = 10 м / с^{2}$ — ускорение свободного падения. Под каким наименьшим углом нужно бросить мячик, чтобы он пролетел $12, 8$ м? Ответ дайте в градусах.

Как решать №10 Решать дальше №10