ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №10 — квадратичная и кубическая зависимость

Задача из открытого банка ФИПИ с ответом и разбором. Введи ответ — проверим сразу.

1 балл на ЕГЭ 1 часть экзамена

№10 Квадратичная и кубическая зависимость средняя 2024

Деталью некоторого прибора является вращающаяся катушка. Она состоит из трёх однородных соосных цилиндров: центрального массой $m = 11$ кг и радиусом $R = 4$ см и двух боковых с массами $M = 6$ кг и с радиусами $R + h$ . При этом момент инерции катушки относительно оси вращения, выражаемый в кг $\cdot$ см $^{2}$ , даётся формулой $I = \frac{( m + 2 M ) R ^{2}}{2} + M (2 R h + h^{2})$ .

При каком максимальном значении $h$ момент инерции катушки не превышает предельного значения $472$ кг $\cdot$ см $^{2}$ ? Ответ дайте в сантиметрах.

Разбор — 1 балл

Момент инерции катушки вычисляется по формуле $I = \frac{( m + 2 M ) R ^{2}}{2} + M (2 R h + h^{2})$ . По условию он не должен превышать $472$ кг·см², значит $I ⩽ 472$ . Подставим $m = 11$ кг, $M = 6$ кг, $R = 4$ см:

$\frac{( 11 + 2 \cdot 6 ) \cdot 4 ^{2}}{2} + 6 (2 \cdot 4 \cdot h + h^{2}) ⩽ 472.$

Вычислим первое слагаемое: $(11 + 12) \cdot 16 = 368$ , а $368 : 2 = 184$ . Тогда

$184 + 6 (8 h + h^{2}) ⩽ 472,$

$6 h^{2} + 48 h ⩽ 288.$

Разделим обе части на $6$ :

$h^{2} + 8 h - 48 ⩽ 0.$

Найдём корни соответствующего квадратного уравнения $h^{2} + 8 h - 48 = 0$ : дискриминант $D = 8^{2} - 4 \cdot (- 48) = 64 + 192 = 256$ , $D = 16$ , поэтому

$h = \frac{- 8 \pm 16}{2}, h_{1} = 4, h_{2} = - 12.$

Квадратный трёхчлен с положительным коэффициентом при $h^{2}$ не превосходит нуля между корнями, то есть при $- 12 ⩽ h ⩽ 4$ . Так как $h$ — положительная величина, получаем $0 < h ⩽ 4$ .

Наибольшее допустимое значение $h$ равно $4$ см.

Ответ: $4$ .

Ещё задания №10

10-028A, лёгкая

При сближении источника и приёмника звуковых сигналов, движущихся в некоторой среде по прямой навстречу друг другу, частота звукового сигнала, регистрируемого приёмником, не совпадает с частотой исходного сигнала $f_{0} = 140$ Гц и определяется следующим выражением: $f = f_{0} \frac{c + u}{c - v}$ (Гц), где $c$ — скорость распространения сигнала в среде (в м/с), а $u = 9$ м/с и $v = 13$ м/с — скорости приёмника и источника относительно среды соответственно. При какой максимальной скорости $c$ (в м/с) распространения сигнала в среде частота сигнала в приёмнике $f$ будет не менее $145$ Гц?

10-02XA, лёгкая

Автомобиль разгоняется на прямолинейном участке шоссе с постоянным ускорением $a км / ч^{2}$ . Скорость вычисляется по формуле $v = 2 l a$ , где $l$ — пройденный автомобилем путь. Найдите ускорение, с которым должен двигаться автомобиль, чтобы, проехав $0, 2$ километра, приобрести скорость $80$ км/ч. Ответ выразите в км/ч $^{2}$ .

10-0EDA, средняя

Мячик бросают под острым углом $α$ к поверхности земли. Расстояние, которое пролетает мячик до падения, равно $\frac{v _{0}^{2}}{g} sin 2 α$ м, где $v_{0} = 16$ м/с — начальная скорость мячика, а $g = 10 м / с^{2}$ — ускорение свободного падения. Под каким наименьшим углом нужно бросить мячик, чтобы он пролетел $12, 8$ м? Ответ дайте в градусах.

Как решать №10 Решать дальше №10