ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №10 — квадратичная и кубическая зависимость

Задача из открытого банка ФИПИ с ответом и разбором. Введи ответ — проверим сразу.

1 балл на ЕГЭ 1 часть экзамена

№10 Квадратичная и кубическая зависимость средняя

Камнеметательная машина выстреливает камни под некоторым острым углом к горизонту. Траектория полета камня описывается формулой $y = a x^{2} + b x$ , где $a = - \frac{1}{100}$ м $^{- 1}$ , $b = 1$ — постоянные параметры, $x$ (м) — смещение камня по горизонтали, $y$ (м) — высота камня над землей. На каком наибольшем расстоянии (в метрах) от крепостной стены высотой $8$ м нужно расположить машину, чтобы камни пролетали над стеной на высоте не менее $1$ метра?

Разбор — 1 балл

Траектория камня задана формулой $y = a x^{2} + b x$ , где $a = - \frac{1}{100}$ , $b = 1$ :

$y = - \frac{x ^{2}}{100} + x .$

Стена имеет высоту 8 м, а камень должен пролетать над ней на высоте не менее 1 м, значит в точке над стеной его высота должна быть не меньше $8 + 1 = 9$ м:

$- \frac{x ^{2}}{100} + x ⩾ 9.$

Умножим обе части на $- 100$ (знак неравенства меняется):

$x^{2} - 100 x ⩽ - 900,$

$x^{2} - 100 x + 900 ⩽ 0.$

Найдём корни уравнения $x^{2} - 100 x + 900 = 0$ . Дискриминант:

$D = 10 0^{2} - 4 \cdot 900 = 10000 - 3600 = 6400, D = 80.$

Корни:

$x = \frac{100 \pm 80}{2}, x_{1} = 10, x_{2} = 90.$

Ветви параболы $x^{2} - 100 x + 900$ направлены вверх, поэтому неравенство $⩽ 0$ выполняется между корнями:

$10 ⩽ x ⩽ 90.$

Значит, наибольшее расстояние от крепостной стены, на котором можно расположить машину, чтобы камни пролетали над стеной не ниже чем на 1 метр, равно $90$ м.

Ответ: $90$ .

Ещё задания №10

10-028A, лёгкая

При сближении источника и приёмника звуковых сигналов, движущихся в некоторой среде по прямой навстречу друг другу, частота звукового сигнала, регистрируемого приёмником, не совпадает с частотой исходного сигнала $f_{0} = 140$ Гц и определяется следующим выражением: $f = f_{0} \frac{c + u}{c - v}$ (Гц), где $c$ — скорость распространения сигнала в среде (в м/с), а $u = 9$ м/с и $v = 13$ м/с — скорости приёмника и источника относительно среды соответственно. При какой максимальной скорости $c$ (в м/с) распространения сигнала в среде частота сигнала в приёмнике $f$ будет не менее $145$ Гц?

10-02XA, лёгкая

Автомобиль разгоняется на прямолинейном участке шоссе с постоянным ускорением $a км / ч^{2}$ . Скорость вычисляется по формуле $v = 2 l a$ , где $l$ — пройденный автомобилем путь. Найдите ускорение, с которым должен двигаться автомобиль, чтобы, проехав $0, 2$ километра, приобрести скорость $80$ км/ч. Ответ выразите в км/ч $^{2}$ .

10-0EDA, средняя

Мячик бросают под острым углом $α$ к поверхности земли. Расстояние, которое пролетает мячик до падения, равно $\frac{v _{0}^{2}}{g} sin 2 α$ м, где $v_{0} = 16$ м/с — начальная скорость мячика, а $g = 10 м / с^{2}$ — ускорение свободного падения. Под каким наименьшим углом нужно бросить мячик, чтобы он пролетел $12, 8$ м? Ответ дайте в градусах.

Как решать №10 Решать дальше №10