В боковой стенке высокого цилиндрического бака у самого дна закреплен… — 10 задание ЕГЭ профиль

№10 Квадратичная и кубическая зависимость средняя

В боковой стенке высокого цилиндрического бака у самого дна закреплен кран. После его открытия вода начинает вытекать из бака, при этом высота столба воды в нём, выраженная в метрах, меняется по закону $H (t) = H_{0} - H^{2} 2 g H_{0} k t + \frac{g}{2} k^{2} t^{2}$ , где $t$ — время в секундах, прошедшее с момента открытия крана, $H_{0} = 20$ м — начальная высота столба воды, $k = \frac{1}{50}$ — отношение площадей поперечных сечений крана и бака, а $g$ — ускорение свободного падения (считайте $g = 10$ м/с $^{2}$ ). Через сколько секунд после открытия крана в баке останется четверть первоначального объёма воды?

Разбор — 1 балл

Бак цилиндрический, поэтому объём воды пропорционален высоте столба. Четверть первоначального объёма соответствует четверти начальной высоты:

$H = \frac{H _{0}}{4} = \frac{20}{4} = 5 м .$

Подставим $H_{0} = 20$ , $k = \frac{1}{50}$ , $g = 10$ в формулу $H (t) = H_{0} - 2 g H_{0} k t + \frac{g}{2} k^{2} t^{2}$ . Сначала найдём коэффициенты при $t$ и $t^{2}$ :

$2 g H_{0} k = 2 \cdot 10 \cdot 20 \cdot \frac{1}{50} = \frac{20}{50} = 0, 4, \frac{g}{2} k^{2} = 5 \cdot \frac{1}{2500} = 0, 002.$

Получаем уравнение

$5 = 20 - 0, 4 t + 0, 002 t^{2} .$

Перенесём всё в левую часть и умножим на 500, чтобы избавиться от дробей:

$0, 002 t^{2} - 0, 4 t + 15 = 0 \Rightarrow t^{2} - 200 t + 7500 = 0.$

Найдём дискриминант:

$D = 20 0^{2} - 4 \cdot 7500 = 40000 - 30000 = 10000, D = 100.$

Корни уравнения:

$t = \frac{200 \pm 100}{2}, t_{1} = 50, t_{2} = 150.$

Проверим время полного опустошения бака: оно соответствует $H (t) = 0$ , то есть уравнению $t^{2} - 200 t + 10000 = 0$ , которое можно записать как $(t - 100)^{2} = 0$ — у него единственный корень $t = 100$ . Так как вода только вытекает, после $100$ секунд формула уже не описывает реальный процесс, поэтому корень $t_{2} = 150 > 100$ не подходит. Остаётся $t_{1} = 50$ с.

Ответ: $50$ .

ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №10 — квадратичная и кубическая зависимость

Сообщить об ошибке

Ещё задания №10