ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №10 — рациональная зависимость

Задача из открытого банка ФИПИ с ответом и разбором. Введи ответ — проверим сразу.

1 балл на ЕГЭ 1 часть экзамена

№10 Рациональная зависимость средняя 2023

Зависимость объёма спроса $q$ (единиц в месяц) на продукцию предприятия-монополиста от цены $p$ (тыс. рублей за единицу) задаётся формулой $q = 70 - 2 p$ . Выручка предприятия $r$ (в тыс. рублей за месяц) вычисляется по формуле $r (p) = q \cdot p$ . Определите наибольшую цену $p$ , при которой месячная выручка $r (p)$ составит не менее $600$ тыс. рублей. Ответ дайте в тысячах рублей за единицу.

Разбор — 1 балл

Выручка предприятия задана формулой $r (p) = q \cdot p$ , где спрос $q = 70 - 2 p$ . Подставим это выражение:

$r (p) = (70 - 2 p) p = 70 p - 2 p^{2} .$

По условию выручка должна быть не меньше 600 тыс. рублей:

$70 p - 2 p^{2} ⩾ 600.$

Перенесём всё в одну сторону и умножим на $- 1$ (знак неравенства меняется):

$2 p^{2} - 70 p + 600 ⩽ 0.$

Разделим обе части на 2:

$p^{2} - 35 p + 300 ⩽ 0.$

Найдём корни уравнения $p^{2} - 35 p + 300 = 0$ . Дискриминант:

$D = 3 5^{2} - 4 \cdot 300 = 1225 - 1200 = 25, D = 5.$

Корни:

$p = \frac{35 \pm 5}{2}, p_{1} = 15, p_{2} = 20.$

Ветви параболы $p^{2} - 35 p + 300$ направлены вверх, поэтому неравенство $⩽ 0$ выполняется между корнями:

$15 ⩽ p ⩽ 20.$

Значит, наибольшая цена, при которой месячная выручка составит не менее 600 тыс. рублей, равна $20$ тыс. рублей.

Ответ: $20$ .

Ещё задания №10

10-028A, лёгкая

При сближении источника и приёмника звуковых сигналов, движущихся в некоторой среде по прямой навстречу друг другу, частота звукового сигнала, регистрируемого приёмником, не совпадает с частотой исходного сигнала $f_{0} = 140$ Гц и определяется следующим выражением: $f = f_{0} \frac{c + u}{c - v}$ (Гц), где $c$ — скорость распространения сигнала в среде (в м/с), а $u = 9$ м/с и $v = 13$ м/с — скорости приёмника и источника относительно среды соответственно. При какой максимальной скорости $c$ (в м/с) распространения сигнала в среде частота сигнала в приёмнике $f$ будет не менее $145$ Гц?

10-02XA, лёгкая

Автомобиль разгоняется на прямолинейном участке шоссе с постоянным ускорением $a км / ч^{2}$ . Скорость вычисляется по формуле $v = 2 l a$ , где $l$ — пройденный автомобилем путь. Найдите ускорение, с которым должен двигаться автомобиль, чтобы, проехав $0, 2$ километра, приобрести скорость $80$ км/ч. Ответ выразите в км/ч $^{2}$ .

10-0EDA, средняя

Мячик бросают под острым углом $α$ к поверхности земли. Расстояние, которое пролетает мячик до падения, равно $\frac{v _{0}^{2}}{g} sin 2 α$ м, где $v_{0} = 16$ м/с — начальная скорость мячика, а $g = 10 м / с^{2}$ — ускорение свободного падения. Под каким наименьшим углом нужно бросить мячик, чтобы он пролетел $12, 8$ м? Ответ дайте в градусах.

Как решать №10 Решать дальше №10