ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №10 — тригонометрическая зависимость

Задача из открытого банка ФИПИ с ответом и разбором. Введи ответ — проверим сразу.

1 балл на ЕГЭ 1 часть экзамена

№10 Тригонометрическая зависимость средняя 2026

Два тела массой $m = 10$ кг каждое движутся с одинаковой скоростью $v = 8$ м/с под углом $2 α$ друг к другу. Энергия (в джоулях), выделяющаяся при их абсолютно неупругом соударении, вычисляется по формуле $Q = m v^{2} sin^{2} α,$ где $m$ — масса в килограммах, $v$ — скорость в м/с. Найдите, под каким наименьшим углом $2 α$ (в градусах) должны двигаться тела, чтобы в результате соударения выделилось энергии не менее 480 джоулей.

Разбор — 1 балл

Угол $2 α$ — это угол между направлениями движения двух тел, поэтому $2 α \in [0^{\circ}; 18 0^{\circ}]$ , а значит $α \in [0^{\circ}; 9 0^{\circ}]$ и $sin α ⩾ 0$ . Выделившаяся при ударе энергия задана формулой $Q = m v^{2} sin^{2} α$ , и по условию она должна быть не меньше 480 Дж. Подставим $m = 10$ , $v = 8$ :

$10 \cdot 8^{2} \cdot sin^{2} α ⩾ 480, 640 sin^{2} α ⩾ 480.$

Разделим обе части на 640:

$sin^{2} α ⩾ \frac{480}{640} = \frac{3}{4} = (\frac{3}{2})^{2} .$

Неравенство $sin^{2} α ⩾ (\frac{3}{2})^{2}$ равносильно тому, что $∣ sin α ∣ ⩾ \frac{3}{2}$ . Так как на промежутке $[0^{\circ}; 9 0^{\circ}]$ синус неотрицателен, это означает

$sin α ⩾ \frac{3}{2} .$

На этом промежутке синус монотонно возрастает и равен $\frac{3}{2}$ при $α = 6 0^{\circ}$ , поэтому неравенству удовлетворяют углы $α \in [6 0^{\circ}; 9 0^{\circ}]$ . Наименьшее значение $α = 6 0^{\circ}$ даёт наименьшее значение искомого угла:

$2 α = 12 0^{\circ} .$

Ответ: $120$ .

Ещё задания №10

10-028A, лёгкая

При сближении источника и приёмника звуковых сигналов, движущихся в некоторой среде по прямой навстречу друг другу, частота звукового сигнала, регистрируемого приёмником, не совпадает с частотой исходного сигнала $f_{0} = 140$ Гц и определяется следующим выражением: $f = f_{0} \frac{c + u}{c - v}$ (Гц), где $c$ — скорость распространения сигнала в среде (в м/с), а $u = 9$ м/с и $v = 13$ м/с — скорости приёмника и источника относительно среды соответственно. При какой максимальной скорости $c$ (в м/с) распространения сигнала в среде частота сигнала в приёмнике $f$ будет не менее $145$ Гц?

10-02XA, лёгкая

Автомобиль разгоняется на прямолинейном участке шоссе с постоянным ускорением $a км / ч^{2}$ . Скорость вычисляется по формуле $v = 2 l a$ , где $l$ — пройденный автомобилем путь. Найдите ускорение, с которым должен двигаться автомобиль, чтобы, проехав $0, 2$ километра, приобрести скорость $80$ км/ч. Ответ выразите в км/ч $^{2}$ .

10-0EDA, средняя

Мячик бросают под острым углом $α$ к поверхности земли. Расстояние, которое пролетает мячик до падения, равно $\frac{v _{0}^{2}}{g} sin 2 α$ м, где $v_{0} = 16$ м/с — начальная скорость мячика, а $g = 10 м / с^{2}$ — ускорение свободного падения. Под каким наименьшим углом нужно бросить мячик, чтобы он пролетел $12, 8$ м? Ответ дайте в градусах.

Как решать №10 Решать дальше №10