ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №10 — показательная зависимость

Задача из открытого банка ФИПИ с ответом и разбором. Введи ответ — проверим сразу.

1 балл на ЕГЭ 1 часть экзамена

№10 Показательная зависимость средняя

Уравнение процесса, в котором участвовал газ, записывается в виде $p V^{a} = co n s t$ , где $p$ (Па) — давление в газе, $V$ — объем газа в кубических метрах, $a$ — положительная константа. При каком наименьшем значении константы $a$ уменьшение вдвое раз объема газа, участвующего в этом процессе, приводит к увеличению давления не менее, чем в $4$ раза?

Разбор — 1 балл

Пусть начальные давление и объём газа равны $p_{1}$ и $V_{1}$ , а после уменьшения объёма вдвое — $p_{2}$ и $V_{2} = \frac{V _{1}}{2}$ . По условию процесса $p V^{a} = const$ , поэтому

$p_{1} V_{1}^{a} = p_{2} V_{2}^{a} = p_{2} (\frac{V _{1}}{2})^{a} .$

Выразим $p_{2}$ :

$p_{2} = p_{1} \cdot \frac{V _{1}^{a}}{( \frac{V _{1}}{2} ) ^{a}} = p_{1} \cdot 2^{a} .$

По условию давление должно увеличиться не менее чем в 4 раза, то есть $p_{2} ⩾ 4 p_{1}$ . Подставим найденное выражение для $p_{2}$ :

$2^{a} p_{1} ⩾ 4 p_{1} .$

Так как $p_{1} > 0$ , разделим обе части на $p_{1}$ :

$2^{a} ⩾ 4 = 2^{2} .$

Функция $2^{a}$ монотонно возрастает, поэтому это неравенство равносильно

$a ⩾ 2.$

Наименьшее значение константы $a$ , при котором выполняется требуемое условие, равно $2$ .

Ответ: $2$ .

Ещё задания №10

10-028A, лёгкая

При сближении источника и приёмника звуковых сигналов, движущихся в некоторой среде по прямой навстречу друг другу, частота звукового сигнала, регистрируемого приёмником, не совпадает с частотой исходного сигнала $f_{0} = 140$ Гц и определяется следующим выражением: $f = f_{0} \frac{c + u}{c - v}$ (Гц), где $c$ — скорость распространения сигнала в среде (в м/с), а $u = 9$ м/с и $v = 13$ м/с — скорости приёмника и источника относительно среды соответственно. При какой максимальной скорости $c$ (в м/с) распространения сигнала в среде частота сигнала в приёмнике $f$ будет не менее $145$ Гц?

10-02XA, лёгкая

Автомобиль разгоняется на прямолинейном участке шоссе с постоянным ускорением $a км / ч^{2}$ . Скорость вычисляется по формуле $v = 2 l a$ , где $l$ — пройденный автомобилем путь. Найдите ускорение, с которым должен двигаться автомобиль, чтобы, проехав $0, 2$ километра, приобрести скорость $80$ км/ч. Ответ выразите в км/ч $^{2}$ .

10-0EDA, средняя

Мячик бросают под острым углом $α$ к поверхности земли. Расстояние, которое пролетает мячик до падения, равно $\frac{v _{0}^{2}}{g} sin 2 α$ м, где $v_{0} = 16$ м/с — начальная скорость мячика, а $g = 10 м / с^{2}$ — ускорение свободного падения. Под каким наименьшим углом нужно бросить мячик, чтобы он пролетел $12, 8$ м? Ответ дайте в градусах.

Как решать №10 Решать дальше №10