В боковой стенке высокого цилиндрического бака у самого дна закреплён кран. После его открытия вода начинает вытекать из бака… — 10 задание ЕГЭ профиль

№10 Иррациональная зависимость средняя 2026

В боковой стенке высокого цилиндрического бака у самого дна закреплён кран. После его открытия вода начинает вытекать из бака, при этом высота столба воды в нём, выраженная в метрах, меняется по закону $H (t) = H_{0} - 2 g H_{0} k t + \frac{g}{2} k^{2} t^{2},$ где $t$ — время в секундах, прошедшее с момента открытия крана, $H_{0} = 20$ м — начальная высота столба воды, $k = \frac{1}{200}$ — отношение площадей поперечных сечений крана и бака, а $g$ — ускорение свободного падения (считайте $g = 10 м / с^{2}) .$ Через сколько секунд после открытия крана в баке останется четверть первоначального объёма воды?

Разбор — 1 балл

Бак цилиндрический, поэтому объём воды пропорционален высоте столба. Четверть первоначального объёма соответствует четверти начальной высоты:

$H = \frac{H _{0}}{4} = \frac{20}{4} = 5 м .$

Подставим $H_{0} = 20$ , $k = \frac{1}{200}$ , $g = 10$ в формулу $H (t) = H_{0} - 2 g H_{0} k t + \frac{g}{2} k^{2} t^{2}$ :

$5 = 20 - 2 \cdot 10 \cdot 20 \cdot \frac{1}{200} t + \frac{10}{2} (\frac{1}{200})^{2} t^{2} .$

Так как $400 = 20$ , уравнение упрощается:

$5 = 20 - \frac{20}{200} t + \frac{5}{20 0 ^{2}} t^{2} .$

Перенесём всё в левую часть и умножим на $20 0^{2} = 40000$ :

$15 - \frac{20}{200} t + \frac{5}{20 0 ^{2}} t^{2} = 0 \Rightarrow 5 t^{2} - 4000 t + 15 \cdot 20 0^{2} = 0.$

Разделим на 5:

$t^{2} - 800 t + 3 \cdot 20 0^{2} = 0, t^{2} - 800 t + 120000 = 0.$

Найдём дискриминант:

$D = 80 0^{2} - 4 \cdot 120000 = 640000 - 480000 = 160000 = 40 0^{2} .$

Корни уравнения:

$t_{1, 2} = \frac{800 \pm 400}{2}, t_{1} = 600, t_{2} = 200.$

Проверим время полного опустошения бака: оно соответствует $H (t) = 0$ , то есть уравнению $t^{2} - 800 t + 160000 = 0$ с нулевым дискриминантом и единственным корнем $t = 400$ . Так как вода только вытекает, после $400$ секунд бак уже пуст, поэтому корень $t_{1} = 600 > 400$ физического смысла не имеет. Остаётся $t_{2} = 200$ с.

Ответ: $200$ .

ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №10 — иррациональная зависимость

Сообщить об ошибке

Ещё задания №10