В боковой стенке высокого цилиндрического бака у самого дна закреплён кран. После его открытия вода начинает вытекать из бака… — 10 задание ЕГЭ профиль

№10 Иррациональная зависимость средняя 2025

В боковой стенке высокого цилиндрического бака у самого дна закреплён кран. После его открытия вода начинает вытекать из бака, при этом высота столба воды в нём, выраженная в метрах, меняется по закону $H (t) = H_{0} - 2 g H_{0} \cdot k t + \frac{g}{2} k^{2} t^{2},$ где $t$ — время в секундах, прошедшее с момента открытия крана, $H_{0} = 5$ м — начальная высота столба воды, $k = \frac{1}{800}$ — отношение площадей поперечных сечений крана и бака, а $g$ — ускорение свободного падения (считайте, что $g = 10$ $м / с^{2}) .$ Через сколько секунд после открытия крана в баке останется четверть первоначального объёма воды?

Разбор — 1 балл

Бак имеет форму цилиндра, поэтому объём воды в нём пропорционален высоте столба. Если в баке осталась четверть первоначального объёма, то и высота составляет четверть начальной:

$H = \frac{H _{0}}{4} = \frac{5}{4} м .$

Подставим $H_{0} = 5$ , $k = \frac{1}{800}$ , $g = 10$ в формулу $H (t) = H_{0} - 2 g H_{0} k t + \frac{g}{2} k^{2} t^{2}$ :

$\frac{5}{4} = 5 - 2 \cdot 10 \cdot 5 \cdot \frac{1}{800} t + \frac{10}{2} (\frac{1}{800})^{2} t^{2} .$

Так как $100 = 10$ , уравнение упрощается:

$\frac{5}{4} = 5 - \frac{10}{800} t + \frac{5}{80 0 ^{2}} t^{2} .$

Перенесём всё в левую часть и умножим обе части на $80 0^{2} = 640000$ , чтобы избавиться от дробей:

$\frac{15}{4} - \frac{10}{800} t + \frac{5}{80 0 ^{2}} t^{2} = 0 \Rightarrow 5 t^{2} - 8000 t + \frac{15 \cdot 80 0 ^{2}}{4} = 0.$

Так как $\frac{80 0 ^{2}}{4} = 160000 = 40 0^{2}$ , получаем $5 t^{2} - 8000 t + 15 \cdot 40 0^{2} = 0$ . Разделим на 5:

$t^{2} - 1600 t + 3 \cdot 40 0^{2} = 0, t^{2} - 1600 t + 480000 = 0.$

Найдём дискриминант:

$D = 160 0^{2} - 4 \cdot 480000 = 2560000 - 1920000 = 640000 = 80 0^{2} .$

Корни уравнения:

$t_{1, 2} = \frac{1600 \pm 800}{2}, t_{1} = 1200, t_{2} = 400.$

Проверим, не опустеет ли бак раньше второго корня: полное опустошение соответствует $H (t) = 0$ , то есть уравнению $t^{2} - 1600 t + 640000 = 0$ с нулевым дискриминантом и единственным корнем $t = 800$ . После $800$ секунд формула уже не описывает реальный процесс, поэтому корень $t_{1} = 1200 > 800$ не подходит. Остаётся $t = 400$ с.

Ответ: $400$ .

ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №10 — иррациональная зависимость

Сообщить об ошибке

Ещё задания №10