ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №10 — квадратичная и кубическая зависимость

Задача из открытого банка ФИПИ с ответом и разбором. Введи ответ — проверим сразу.

1 балл на ЕГЭ 1 часть экзамена

№10 Квадратичная и кубическая зависимость средняя

Амплитуда колебаний маятника зависит от частоты вынуждающей силы и определяется по формуле $A (ω) = \frac{A _{0} ω _{p}^{2}}{∣ ω _{p}^{2} - ω ^{2} ∣}$ , где $ω$ — частота вынуждающей силы (в с $^{- 1}$ ), $A_{0}$ — постоянный параметр, $ω_{p} = 360$ с $^{- 1}$ — резонансная частота. Найдите максимальную частоту $ω$ , меньшую резонансной, для которой амплитуда колебаний превосходит величину $A_{0}$ не более чем на $12, 5%$ . Ответ дайте в с $^{- 1}$ .

Разбор — 1 балл

Амплитуда колебаний равна $A (ω) = \frac{A _{0} ω _{p}^{2}}{∣ ω _{p}^{2} - ω ^{2} ∣}$ , и по условию она превышает $A_{0}$ не более чем на $12, 5%$ , то есть

$A (ω) ⩽ 1, 125 A_{0} .$

По условию частота $ω$ меньше резонансной $ω_{p} = 360$ , значит $ω_{p}^{2} - ω^{2} > 0$ , и модуль раскрывается без смены знака:

$∣ ω_{p}^{2} - ω^{2} ∣ = ω_{p}^{2} - ω^{2} .$

Подставим это в неравенство для амплитуды и разделим обе части на положительное $A_{0}$ :

$\frac{ω _{p}^{2}}{ω _{p}^{2} - ω ^{2}} ⩽ 1, 125 = \frac{9}{8} .$

Знаменатель $ω_{p}^{2} - ω^{2}$ положителен, поэтому умножаем обе части на него, не меняя знак неравенства:

$8 ω_{p}^{2} ⩽ 9 (ω_{p}^{2} - ω^{2}), 8 ω_{p}^{2} ⩽ 9 ω_{p}^{2} - 9 ω^{2}, 9 ω^{2} ⩽ ω_{p}^{2} .$

Частота положительна, поэтому

$ω ⩽ \frac{ω _{p}}{3} = \frac{360}{3} = 120.$

Значит, максимальная частота, меньшая резонансной, при которой амплитуда превышает $A_{0}$ не более чем на $12, 5%$ , равна $120$ с $^{- 1}$ .

Ответ: $120$ .

Ещё задания №10

10-028A, лёгкая

При сближении источника и приёмника звуковых сигналов, движущихся в некоторой среде по прямой навстречу друг другу, частота звукового сигнала, регистрируемого приёмником, не совпадает с частотой исходного сигнала $f_{0} = 140$ Гц и определяется следующим выражением: $f = f_{0} \frac{c + u}{c - v}$ (Гц), где $c$ — скорость распространения сигнала в среде (в м/с), а $u = 9$ м/с и $v = 13$ м/с — скорости приёмника и источника относительно среды соответственно. При какой максимальной скорости $c$ (в м/с) распространения сигнала в среде частота сигнала в приёмнике $f$ будет не менее $145$ Гц?

10-02XA, лёгкая

Автомобиль разгоняется на прямолинейном участке шоссе с постоянным ускорением $a км / ч^{2}$ . Скорость вычисляется по формуле $v = 2 l a$ , где $l$ — пройденный автомобилем путь. Найдите ускорение, с которым должен двигаться автомобиль, чтобы, проехав $0, 2$ километра, приобрести скорость $80$ км/ч. Ответ выразите в км/ч $^{2}$ .

10-0EDA, средняя

Мячик бросают под острым углом $α$ к поверхности земли. Расстояние, которое пролетает мячик до падения, равно $\frac{v _{0}^{2}}{g} sin 2 α$ м, где $v_{0} = 16$ м/с — начальная скорость мячика, а $g = 10 м / с^{2}$ — ускорение свободного падения. Под каким наименьшим углом нужно бросить мячик, чтобы он пролетел $12, 8$ м? Ответ дайте в градусах.

Как решать №10 Решать дальше №10