ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №10 — тригонометрическая зависимость

Задача из открытого банка ФИПИ с ответом и разбором. Введи ответ — проверим сразу.

1 балл на ЕГЭ 1 часть экзамена

№10 Тригонометрическая зависимость средняя 2025

Датчик сконструирован таким образом, что его антенна ловит радиосигнал, который затем преобразуется в электрический сигнал, изменяющийся со временем по закону $U = U_{0} sin (ω t + φ)$ , где $t$ — время в секундах, $U_{0} = 2$ В — амплитуда, $ω = 6 0^{\circ}$ /с — частота, $φ = - 1 5^{\circ}$ — фаза. Датчик настроен так, что если напряжение в нём не ниже чем $1$ В, то загорается лампочка. Какую часть времени (в процентах) на протяжении первой секунды после начала работы лампочка будет гореть?

Разбор — 1 балл

Напряжение меняется по закону $U = U_{0} sin (ω t + φ)$ . Подставим $U_{0} = 2$ , $ω = 6 0^{\circ}$ /с, $φ = - 1 5^{\circ}$ :

$U (t) = 2 sin (60 t - 1 5^{\circ}) .$

Лампочка горит, когда напряжение не меньше 1 В:

$2 sin (60 t - 1 5^{\circ}) ⩾ 1 \Leftrightarrow sin (60 t - 1 5^{\circ}) ⩾ 0, 5.$

Рассмотрим первую секунду работы датчика, то есть $t \in [0; 1]$ . При изменении $t$ от $0$ до $1$ аргумент $60 t - 1 5^{\circ}$ пробегает значения от $- 1 5^{\circ}$ до $60 - 15 = 4 5^{\circ}$ .

Решим неравенство $sin x ⩾ 0, 5$ на промежутке $x \in [- 1 5^{\circ}; 4 5^{\circ}]$ . На отрезке от $- 9 0^{\circ}$ до $9 0^{\circ}$ синус монотонно возрастает, а равен $0, 5$ при $x = 3 0^{\circ}$ . Значит, внутри промежутка $[- 1 5^{\circ}; 4 5^{\circ}]$ неравенство выполняется при $x \in [3 0^{\circ}; 4 5^{\circ}]$ .

Вернёмся к переменной $t$ , прибавив к каждой части $1 5^{\circ}$ и разделив на 60:

$3 0^{\circ} ⩽ 60 t - 1 5^{\circ} ⩽ 4 5^{\circ} \Rightarrow 4 5^{\circ} ⩽ 60 t ⩽ 6 0^{\circ} \Rightarrow 0, 75 ⩽ t ⩽ 1.$

Лампочка горит на промежутке длиной $1 - 0, 75 = 0, 25$ с внутри первой секунды. В процентах это

$\frac{0 , 25}{1} \cdot 100% = 25%.$

Ответ: $25$ .

Ещё задания №10

10-028A, лёгкая

При сближении источника и приёмника звуковых сигналов, движущихся в некоторой среде по прямой навстречу друг другу, частота звукового сигнала, регистрируемого приёмником, не совпадает с частотой исходного сигнала $f_{0} = 140$ Гц и определяется следующим выражением: $f = f_{0} \frac{c + u}{c - v}$ (Гц), где $c$ — скорость распространения сигнала в среде (в м/с), а $u = 9$ м/с и $v = 13$ м/с — скорости приёмника и источника относительно среды соответственно. При какой максимальной скорости $c$ (в м/с) распространения сигнала в среде частота сигнала в приёмнике $f$ будет не менее $145$ Гц?

10-02XA, лёгкая

Автомобиль разгоняется на прямолинейном участке шоссе с постоянным ускорением $a км / ч^{2}$ . Скорость вычисляется по формуле $v = 2 l a$ , где $l$ — пройденный автомобилем путь. Найдите ускорение, с которым должен двигаться автомобиль, чтобы, проехав $0, 2$ километра, приобрести скорость $80$ км/ч. Ответ выразите в км/ч $^{2}$ .

10-0EDA, средняя

Мячик бросают под острым углом $α$ к поверхности земли. Расстояние, которое пролетает мячик до падения, равно $\frac{v _{0}^{2}}{g} sin 2 α$ м, где $v_{0} = 16$ м/с — начальная скорость мячика, а $g = 10 м / с^{2}$ — ускорение свободного падения. Под каким наименьшим углом нужно бросить мячик, чтобы он пролетел $12, 8$ м? Ответ дайте в градусах.

Как решать №10 Решать дальше №10