ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №10 — рациональная зависимость

Задача из открытого банка ФИПИ с ответом и разбором. Введи ответ — проверим сразу.

1 балл на ЕГЭ 1 часть экзамена

№10 Рациональная зависимость средняя

Для получения на экране увеличенного изображения лампочки в лаборатории используется собирающая линза с фокусным расстоянием $f = 36$ см. Расстояние $d_{1}$ от линзы до лампочки может изменяться в пределах от 30 см до 50 см, а расстояние $d_{2}$ от линзы до экрана — в пределах от 160 см до 180 см. Изображение на экране будет чётким, если выполнено соотношение

$\frac{1}{d _{1}} + \frac{1}{d _{2}} = \frac{1}{f} .$

На каком наименьшем расстоянии от линзы нужно поместить лампочку, чтобы её изображение на экране было чётким? Ответ дайте в сантиметрах.

Разбор — 1 балл

Из условия чёткого изображения $\frac{1}{d _{1}} + \frac{1}{d _{2}} = \frac{1}{f}$ выразим $\frac{1}{d _{1}} = \frac{1}{f} - \frac{1}{d _{2}}$ .

Чем больше $d_{2}$ , тем меньше $\frac{1}{d _{2}}$ и тем больше $\frac{1}{d _{1}}$ , а значит, тем меньше сам $d_{1}$ . Поэтому наименьшее значение $d_{1}$ достигается при наибольшем допустимом $d_{2} = 180$ см.

Подставим $f = 36$ см и $d_{2} = 180$ см:

$\frac{1}{d _{1}} = \frac{1}{36} - \frac{1}{180} .$

Приведём дроби к общему знаменателю $180$ : $\frac{1}{36} = \frac{5}{180}$ , поэтому

$\frac{1}{d _{1}} = \frac{5}{180} - \frac{1}{180} = \frac{4}{180} = \frac{1}{45},$

$d_{1} = 45.$

Это значение попадает в допустимый для $d_{1}$ промежуток от $30$ до $50$ см, значит оно подходит.

Ответ: $45$ .

Ещё задания №10

10-028A, лёгкая

При сближении источника и приёмника звуковых сигналов, движущихся в некоторой среде по прямой навстречу друг другу, частота звукового сигнала, регистрируемого приёмником, не совпадает с частотой исходного сигнала $f_{0} = 140$ Гц и определяется следующим выражением: $f = f_{0} \frac{c + u}{c - v}$ (Гц), где $c$ — скорость распространения сигнала в среде (в м/с), а $u = 9$ м/с и $v = 13$ м/с — скорости приёмника и источника относительно среды соответственно. При какой максимальной скорости $c$ (в м/с) распространения сигнала в среде частота сигнала в приёмнике $f$ будет не менее $145$ Гц?

10-02XA, лёгкая

Автомобиль разгоняется на прямолинейном участке шоссе с постоянным ускорением $a км / ч^{2}$ . Скорость вычисляется по формуле $v = 2 l a$ , где $l$ — пройденный автомобилем путь. Найдите ускорение, с которым должен двигаться автомобиль, чтобы, проехав $0, 2$ километра, приобрести скорость $80$ км/ч. Ответ выразите в км/ч $^{2}$ .

10-0EDA, средняя

Мячик бросают под острым углом $α$ к поверхности земли. Расстояние, которое пролетает мячик до падения, равно $\frac{v _{0}^{2}}{g} sin 2 α$ м, где $v_{0} = 16$ м/с — начальная скорость мячика, а $g = 10 м / с^{2}$ — ускорение свободного падения. Под каким наименьшим углом нужно бросить мячик, чтобы он пролетел $12, 8$ м? Ответ дайте в градусах.

Как решать №10 Решать дальше №10