ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №10 — рациональная зависимость

Задача из открытого банка ФИПИ с ответом и разбором. Введи ответ — проверим сразу.

1 балл на ЕГЭ 1 часть экзамена

№10 Рациональная зависимость средняя 2026

Амплитуда колебаний маятника зависит от частоты вынуждающей силы и определяется по формуле

$A (ω) = \frac{A _{0} ω _{p}^{2}}{ω _{p}^{2} - ω ^{2}},$

где $ω$ — частота вынуждающей силы (в $с^{- 1}$ ), $A_{0}$ — постоянный параметр, $ω_{p} = 360 с^{- 1}$ — резонансная частота. Найдите максимальную частоту $ω,$ меньшую резонансной, для которой амплитуда колебаний превосходит величину $A_{0}$ не более чем на одну пятнадцатую. Ответ дайте в $с^{- 1} .$

Разбор — 1 балл

Так как частота $ω$ меньше резонансной $ω_{p} = 360$ с $^{- 1}$ , то $ω_{p}^{2} - ω^{2} > 0$ , и модуль раскрывается без смены знака:

$ω_{p}^{2} - ω^{2} = ω_{p}^{2} - ω^{2} .$

Амплитуда не должна превышать $A_{0}$ более чем на одну пятнадцатую, то есть

$A ⩽ A_{0} + \frac{A _{0}}{15} = \frac{16 A _{0}}{15} .$

Подставим формулу амплитуды:

$\frac{A _{0} ω _{p}^{2}}{ω _{p}^{2} - ω ^{2}} ⩽ \frac{16 A _{0}}{15} .$

Разделим обе части на $A_{0} > 0$ и умножим на положительный знаменатель $15 (ω_{p}^{2} - ω^{2})$ :

$15 ω_{p}^{2} ⩽ 16 (ω_{p}^{2} - ω^{2}),$

$16 ω^{2} ⩽ 16 ω_{p}^{2} - 15 ω_{p}^{2} = ω_{p}^{2},$

$ω^{2} ⩽ \frac{ω _{p}^{2}}{16} .$

Подставим $ω_{p} = 360$ :

$ω^{2} ⩽ \frac{36 0 ^{2}}{16} = \frac{129600}{16} = 8100 = 9 0^{2} .$

Так как частота неотрицательна, $ω ⩽ 90$ . Максимальная подходящая частота равна $90$ с $^{- 1}$ .

Ответ: $90$ .

Ещё задания №10

10-028A, лёгкая

При сближении источника и приёмника звуковых сигналов, движущихся в некоторой среде по прямой навстречу друг другу, частота звукового сигнала, регистрируемого приёмником, не совпадает с частотой исходного сигнала $f_{0} = 140$ Гц и определяется следующим выражением: $f = f_{0} \frac{c + u}{c - v}$ (Гц), где $c$ — скорость распространения сигнала в среде (в м/с), а $u = 9$ м/с и $v = 13$ м/с — скорости приёмника и источника относительно среды соответственно. При какой максимальной скорости $c$ (в м/с) распространения сигнала в среде частота сигнала в приёмнике $f$ будет не менее $145$ Гц?

10-02XA, лёгкая

Автомобиль разгоняется на прямолинейном участке шоссе с постоянным ускорением $a км / ч^{2}$ . Скорость вычисляется по формуле $v = 2 l a$ , где $l$ — пройденный автомобилем путь. Найдите ускорение, с которым должен двигаться автомобиль, чтобы, проехав $0, 2$ километра, приобрести скорость $80$ км/ч. Ответ выразите в км/ч $^{2}$ .

10-0EDA, средняя

Мячик бросают под острым углом $α$ к поверхности земли. Расстояние, которое пролетает мячик до падения, равно $\frac{v _{0}^{2}}{g} sin 2 α$ м, где $v_{0} = 16$ м/с — начальная скорость мячика, а $g = 10 м / с^{2}$ — ускорение свободного падения. Под каким наименьшим углом нужно бросить мячик, чтобы он пролетел $12, 8$ м? Ответ дайте в градусах.

Как решать №10 Решать дальше №10