ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №10 — квадратичная и кубическая зависимость

Задача из открытого банка ФИПИ с ответом и разбором. Введи ответ — проверим сразу.

1 балл на ЕГЭ 1 часть экзамена

№10 Квадратичная и кубическая зависимость средняя

Для нагревательного элемента некоторого прибора экспериментально была получена зависимость температуры (в К) от времени работы:

$T (t) = T_{0} + b t + a t^{2},$

где $t$ — время (в мин.), $T_{0} = 1600 К$ , $a = - 5 К / мин^{2}$ , $b = 105 К / мин$ . Известно, что при температуре нагревательного элемента свыше 1870 К прибор может испортиться, поэтому его нужно отключить. Найдите, через какое наибольшее время после начала работы нужно отключить прибор. Ответ дайте в минутах.

Разбор — 1 балл

Температура прибора достигает критического значения $1870$ К, когда

$1600 + 105 t - 5 t^{2} = 1870.$

Перенесём всё в одну сторону и разделим на $- 5$ :

$- 5 t^{2} + 105 t - 270 = 0 \Rightarrow t^{2} - 21 t + 54 = 0.$

Дискриминант: $D = 2 1^{2} - 4 \cdot 54 = 441 - 216 = 225$ , $D = 15$ . Корни

$t = \frac{21 \pm 15}{2},$

то есть $t_{1} = 3$ и $t_{2} = 18$ .

Коэффициент при $t^{2}$ в формуле температуры отрицателен, значит график $T (t)$ — парабола с ветвями вниз: температура сначала растёт, достигает максимума, потом падает. Поэтому значение $1870$ К достигается дважды — на подъёме при $t = 3$ и на спуске при $t = 18$ , а между этими моментами температура выше допустимой. Прибор нужно отключить сразу, как только температура впервые достигнет $1870$ К, то есть через $3$ минуты: ждать до $t = 18$ нельзя, так как в промежутке прибор уже может испортиться.

Ответ: $3$ .

Ещё задания №10

10-028A, лёгкая

При сближении источника и приёмника звуковых сигналов, движущихся в некоторой среде по прямой навстречу друг другу, частота звукового сигнала, регистрируемого приёмником, не совпадает с частотой исходного сигнала $f_{0} = 140$ Гц и определяется следующим выражением: $f = f_{0} \frac{c + u}{c - v}$ (Гц), где $c$ — скорость распространения сигнала в среде (в м/с), а $u = 9$ м/с и $v = 13$ м/с — скорости приёмника и источника относительно среды соответственно. При какой максимальной скорости $c$ (в м/с) распространения сигнала в среде частота сигнала в приёмнике $f$ будет не менее $145$ Гц?

10-02XA, лёгкая

Автомобиль разгоняется на прямолинейном участке шоссе с постоянным ускорением $a км / ч^{2}$ . Скорость вычисляется по формуле $v = 2 l a$ , где $l$ — пройденный автомобилем путь. Найдите ускорение, с которым должен двигаться автомобиль, чтобы, проехав $0, 2$ километра, приобрести скорость $80$ км/ч. Ответ выразите в км/ч $^{2}$ .

10-0EDA, средняя

Мячик бросают под острым углом $α$ к поверхности земли. Расстояние, которое пролетает мячик до падения, равно $\frac{v _{0}^{2}}{g} sin 2 α$ м, где $v_{0} = 16$ м/с — начальная скорость мячика, а $g = 10 м / с^{2}$ — ускорение свободного падения. Под каким наименьшим углом нужно бросить мячик, чтобы он пролетел $12, 8$ м? Ответ дайте в градусах.

Как решать №10 Решать дальше №10