Для сматывания кабеля на заводе используют лебёдку, которая равноускоренно наматывает кабель на катушку. Угол поворота катушки… — 10 задание ЕГЭ профиль

№10 Квадратичная и кубическая зависимость средняя 2026

Для сматывания кабеля на заводе используют лебёдку, которая равноускоренно наматывает кабель на катушку. Угол поворота катушки, на который наматывается кабель, изменяется со временем по закону $φ = ω t + \frac{β t ^{2}}{2},$ где $t$ — время (в минутах) от начала работы лебёдки, $ω = 3 0^{\circ}$ /мин — начальная угловая скорость вращения катушки, а $β = 3^{\circ}$ /мин $^{2}$ — угловое ускорение, с которым наматывается кабель. Рабочий должен проверить ход его намотки не позже того момента, когда угол намотки $φ$ достигнет $120 0^{\circ} .$ Определите время после начала работы лебёдки, не позже которого рабочий должен проверить её работу. Ответ дайте в минутах.

Разбор — 1 балл

Рабочий должен успеть проверить лебёдку, пока угол намотки не превысил $120 0^{\circ}$ , то есть должно выполняться неравенство $φ ⩽ 120 0^{\circ}$ .

Подставим в формулу угла $ω = 3 0^{\circ}$ /мин и $β = 3^{\circ}$ /мин $^{2}$ :

$30 t + \frac{3 t ^{2}}{2} ⩽ 1200.$

Умножим обе части на $2$ и разделим на $3$ :

$t^{2} + 20 t - 800 ⩽ 0.$

Найдём корни соответствующего уравнения через дискриминант: $D = 2 0^{2} + 4 \cdot 800 = 400 + 3200 = 3600 = 6 0^{2}$ , поэтому

$t = \frac{- 20 \pm 60}{2},$

то есть $t_{1} = - 40$ и $t_{2} = 20$ . Квадратный трёхчлен раскладывается на множители:

$(t + 40) (t - 20) ⩽ 0.$

Решим это неравенство методом интервалов.

Рисунок к решению

Трёхчлен неположителен между корнями:

$- 40 ⩽ t ⩽ 20.$

Время от начала работы лебёдки не может быть отрицательным, поэтому остаётся промежуток $0 ⩽ t ⩽ 20$ . Значит, рабочий должен проверить работу лебёдки не позже, чем через $20$ минут.

Ответ: $20$ .

ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №10 — квадратичная и кубическая зависимость

Сообщить об ошибке

Ещё задания №10