ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №10 — тригонометрическая зависимость

Задача из открытого банка ФИПИ с ответом и разбором. Введи ответ — проверим сразу.

1 балл на ЕГЭ 1 часть экзамена

№10 Тригонометрическая зависимость средняя 2023

Два тела, массой $m = 10$ кг каждое, движутся с одинаковой скоростью $v = 6$ м/с под углом $2 α$ друг к другу. Энергия (в джоулях), выделяющаяся при их абсолютно неупругом соударении, вычисляется по формуле $Q = m v^{2} sin^{2} α$ , где $m$ — масса в килограммах, $v$ — скорость в м/с. Найдите, под каким наименьшим углом $2 α$ (в градусах) должны двигаться тела, чтобы в результате соударения выделилось энергии не менее $90$ джоулей.

Разбор — 1 балл

Энергия, выделяющаяся при неупругом соударении тел, вычисляется по формуле

$Q = m v^{2} sin^{2} α .$

Подставим $m = 10$ кг, $v = 6$ м/с и условие $Q ⩾ 90$ Дж:

$90 ⩽ 10 \cdot 6^{2} \cdot sin^{2} α .$

Вычислим коэффициент: $10 \cdot 36 = 360$ . Получаем

$\frac{90}{360} ⩽ sin^{2} α,$

$\frac{1}{4} ⩽ sin^{2} α,$

$sin α ⩾ \frac{1}{2} .$

Угол $α$ по смыслу задачи острый — так как $2 α$ — угол между направлениями движения тел, $2 α \in (0^{\circ}; 18 0^{\circ})$ , значит $α \in (0^{\circ}; 9 0^{\circ})$ . На этом промежутке неравенство $sin α ⩾ \frac{1}{2}$ выполняется при $α ⩾ 3 0^{\circ}$ , а наименьшее такое значение — $α = 3 0^{\circ}$ .

Тогда наименьший угол

$2 α = 2 \cdot 3 0^{\circ} = 6 0^{\circ} .$

Ответ: $60$ .

Ещё задания №10

10-028A, лёгкая

При сближении источника и приёмника звуковых сигналов, движущихся в некоторой среде по прямой навстречу друг другу, частота звукового сигнала, регистрируемого приёмником, не совпадает с частотой исходного сигнала $f_{0} = 140$ Гц и определяется следующим выражением: $f = f_{0} \frac{c + u}{c - v}$ (Гц), где $c$ — скорость распространения сигнала в среде (в м/с), а $u = 9$ м/с и $v = 13$ м/с — скорости приёмника и источника относительно среды соответственно. При какой максимальной скорости $c$ (в м/с) распространения сигнала в среде частота сигнала в приёмнике $f$ будет не менее $145$ Гц?

10-02XA, лёгкая

Автомобиль разгоняется на прямолинейном участке шоссе с постоянным ускорением $a км / ч^{2}$ . Скорость вычисляется по формуле $v = 2 l a$ , где $l$ — пройденный автомобилем путь. Найдите ускорение, с которым должен двигаться автомобиль, чтобы, проехав $0, 2$ километра, приобрести скорость $80$ км/ч. Ответ выразите в км/ч $^{2}$ .

10-0EDA, средняя

Мячик бросают под острым углом $α$ к поверхности земли. Расстояние, которое пролетает мячик до падения, равно $\frac{v _{0}^{2}}{g} sin 2 α$ м, где $v_{0} = 16$ м/с — начальная скорость мячика, а $g = 10 м / с^{2}$ — ускорение свободного падения. Под каким наименьшим углом нужно бросить мячик, чтобы он пролетел $12, 8$ м? Ответ дайте в градусах.

Как решать №10 Решать дальше №10