В боковой стенке высокого цилиндрического бака у самого дна закреплён кран. После его открытия вода начинает вытекать из бака… — 10 задание ЕГЭ профиль

№10 Иррациональная зависимость сложная 2025

В боковой стенке высокого цилиндрического бака у самого дна закреплён кран. После его открытия вода начинает вытекать из бака, при этом высота столба воды в нём, выраженная в метрах, меняется по закону $H (t) = H_{0} - 2 g H_{0} \cdot k t + \frac{g}{2} k^{2} t^{2},$ где $t$ — время в секундах, прошедшее с момента открытия крана, $H_{0} = 5$ м — начальная высота столба воды, $k = \frac{1}{900}$ — отношение площадей поперечных сечений крана и бака, а $g$ — ускорение свободного падения (считайте, что $g = 10$ $м / с^{2}) .$ Через сколько секунд после открытия крана в баке останется четверть первоначального объёма воды?

Разбор — 1 балл

Бак имеет форму цилиндра, поэтому объём воды пропорционален высоте столба. Если в баке осталась четверть первоначального объёма, высота столба стала равна четверти начальной:

$H = \frac{H _{0}}{4} = \frac{5}{4} м .$

Подставим это значение, а также $H_{0} = 5$ м, $k = \frac{1}{900}$ и $g = 10$ м/с $^{2}$ , в закон изменения высоты столба:

$\frac{5}{4} = 5 - 2 \cdot 10 \cdot 5 \cdot \frac{1}{900} t + \frac{10}{2} (\frac{1}{900})^{2} t^{2} .$

Так как $2 \cdot 10 \cdot 5 = 10$ , перенесём всё в левую часть:

$\frac{15}{4} - \frac{10}{900} t + \frac{5}{90 0 ^{2}} t^{2} = 0.$

Умножим обе части на $90 0^{2}$ и приведём к целым коэффициентам:

$5 t^{2} - 9000 t + \frac{15 \cdot 90 0 ^{2}}{4} = 0,$

$t^{2} - 1800 t + 3 \cdot 45 0^{2} = 0.$

Найдём дискриминант:

$D = 180 0^{2} - 4 \cdot 3 \cdot 45 0^{2} = 4 \cdot 90 0^{2} - 12 \cdot 45 0^{2} = 4 \cdot 45 0^{2} = 90 0^{2} .$

Тогда корни уравнения:

$t_{1, 2} = \frac{1800 \pm 900}{2},$

$t_{1} = 1350, t_{2} = 450.$

Вода из бака только вытекает, поэтому высота столба всё время убывает: значения $\frac{5}{4}$ м она достигает один раз, в момент $t_{2} = 450$ с. Так как $450 < 1350$ , подходит именно этот, меньший, корень — после него уровень уже не поднимется обратно.

Ответ: $450$ .

ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №10 — иррациональная зависимость

Сообщить об ошибке

Ещё задания №10