ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №10 — квадратичная и кубическая зависимость

Задача из открытого банка ФИПИ с ответом и разбором. Введи ответ — проверим сразу.

1 балл на ЕГЭ 1 часть экзамена

№10 Квадратичная и кубическая зависимость средняя 2024

Мотоцикл, движущийся по городу со скоростью $v_{0} = 54$ км/ч, выезжает из него и сразу после выезда начинает разгоняться с постоянным ускорением $a = 8$ км/ч $^{2}$ . Расстояние от мотоцикла до города, измеряемое в километрах, определяется выражением $S = v_{0} t + \frac{a t ^{2}}{2}$ . Определите наибольшее время, в течение которого мотоцикл будет находиться в зоне функционирования сотовой связи, если оператор гарантирует покрытие на расстоянии не далее чем в $58$ км от города. Ответ дайте в минутах.

Разбор — 1 балл

Расстояние мотоцикла от города вычисляется по формуле

$S = v_{0} t + \frac{a t ^{2}}{2} .$

Мотоцикл находится в зоне покрытия, пока $S ⩽ 58$ . Подставим $v_{0} = 54$ км/ч и $a = 8$ км/ч $^{2}$ :

$54 t + \frac{8 t ^{2}}{2} ⩽ 58,$

$4 t^{2} + 54 t - 58 ⩽ 0.$

Разделим обе части на $2$ :

$2 t^{2} + 27 t - 29 ⩽ 0.$

Найдём корни уравнения $2 t^{2} + 27 t - 29 = 0$ . Сумма коэффициентов равна нулю ( $2 + 27 - 29 = 0$ ), значит, $t = 1$ — корень. По теореме Виета произведение корней равно $- \frac{29}{2}$ , поэтому второй корень равен $- \frac{29}{2}$ .

Квадратный трёхчлен с положительным старшим коэффициентом неположителен между корнями:

$- \frac{29}{2} ⩽ t ⩽ 1.$

Время неотрицательно, поэтому подходящий промежуток — $0 ⩽ t ⩽ 1$ , а наибольшее время равно $1$ ч, то есть

$1 \cdot 60 = 60 мин .$

Ответ: $60$ .

Ещё задания №10

10-028A, лёгкая

При сближении источника и приёмника звуковых сигналов, движущихся в некоторой среде по прямой навстречу друг другу, частота звукового сигнала, регистрируемого приёмником, не совпадает с частотой исходного сигнала $f_{0} = 140$ Гц и определяется следующим выражением: $f = f_{0} \frac{c + u}{c - v}$ (Гц), где $c$ — скорость распространения сигнала в среде (в м/с), а $u = 9$ м/с и $v = 13$ м/с — скорости приёмника и источника относительно среды соответственно. При какой максимальной скорости $c$ (в м/с) распространения сигнала в среде частота сигнала в приёмнике $f$ будет не менее $145$ Гц?

10-02XA, лёгкая

Автомобиль разгоняется на прямолинейном участке шоссе с постоянным ускорением $a км / ч^{2}$ . Скорость вычисляется по формуле $v = 2 l a$ , где $l$ — пройденный автомобилем путь. Найдите ускорение, с которым должен двигаться автомобиль, чтобы, проехав $0, 2$ километра, приобрести скорость $80$ км/ч. Ответ выразите в км/ч $^{2}$ .

10-0EDA, средняя

Мячик бросают под острым углом $α$ к поверхности земли. Расстояние, которое пролетает мячик до падения, равно $\frac{v _{0}^{2}}{g} sin 2 α$ м, где $v_{0} = 16$ м/с — начальная скорость мячика, а $g = 10 м / с^{2}$ — ускорение свободного падения. Под каким наименьшим углом нужно бросить мячик, чтобы он пролетел $12, 8$ м? Ответ дайте в градусах.

Как решать №10 Решать дальше №10