ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №15 — цилиндры

Разбор — 3 балла

а) Точки $A$, $B$, $C$ лежат на окружности нижнего основания, и $AC$ — её диаметр. Вписанный угол, опирающийся на диаметр, прямой, поэтому $\angle ABC=90^{\circ }$.

В прямоугольном треугольнике $ABC$ катет $AB$ лежит против угла $30^{\circ }$, значит, он равен половине гипотенузы:

$$AC=2AB=2.$$

По теореме Пифагора

$$BC=\sqrt{A{C}^2-A{B}^2}=\sqrt{4-1}=\sqrt{3}.$$

Прямые $A{C}_1$ и $BC$ скрещиваются. Угол между скрещивающимися прямыми — это угол между пересекающимися прямыми, соответственно им параллельными. Проведём в плоскости нижнего основания через точку $A$ прямую, параллельную $BC$. Она пересекает окружность основания ещё в одной точке $B^{\prime }$. Тогда угол между прямыми $A{C}_1$ и $BC$ равен углу между прямыми $A{C}_1$ и $A{B}^{\prime }$.

Углы $B^{\prime }AC$ и $ACB$ — накрест лежащие при параллельных прямых $A{B}^{\prime }$, $BC$ и секущей $AC$, поэтому $\angle B^{\prime }AC=\angle ACB=30^{\circ }$. Угол $A{B}^{\prime }C$ вписанный и опирается на диаметр $AC$, поэтому $\angle A{B}^{\prime }C=90^{\circ }$.

Прямоугольные треугольники $A{B}^{\prime }C$ и $CBA$ имеют общую гипотенузу $AC$ и равные острые углы $\angle B^{\prime }AC=\angle BCA=30^{\circ }$. Они равны по гипотенузе и острому углу, поэтому

$$A{B}^{\prime }=CB=\sqrt{3},B^{\prime }C=BA=1.$$

Образующая $C{C}_1$ перпендикулярна плоскости основания. Значит, $B^{\prime }{C}_1$ — наклонная к этой плоскости, а $B^{\prime }C$ — её проекция. Прямая $A{B}^{\prime }$ лежит в плоскости основания и перпендикулярна проекции $B^{\prime }C$. По теореме о трёх перпендикулярах она перпендикулярна и наклонной: $A{B}^{\prime }\perp B^{\prime }{C}_1$. Треугольник $A{B}^{\prime }{C}_1$ прямоугольный с прямым углом $B^{\prime }$.

Прямая $C{C}_1$ перпендикулярна плоскости основания, а значит, и прямой $B^{\prime }C$ этой плоскости. По теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике $B^{\prime }C{C}_1$:

$$B^{\prime }{C}_1=\sqrt{B^{\prime }{C}^2+C{C}_1^2}=\sqrt{1^2+{\left(2\sqrt{2}\right)}^2}=\sqrt{1+8}=3.$$

В прямоугольном треугольнике $A{B}^{\prime }{C}_1$ тангенс острого угла равен отношению противолежащего катета к прилежащему:

$$\mathrm{tg}\angle C_{1}A{B}^{\prime }=\frac{B^{\prime }{C}_1}{A{B}^{\prime }}=\frac{3}{\sqrt{3}}=\sqrt{3}\Rightarrow \angle C_{1}A{B}^{\prime }=60^{\circ }.$$

Угол $C_{1}A{B}^{\prime }$ острый, поэтому угол между прямыми $A{C}_1$ и $A{B}^{\prime }$ равен $60^{\circ }$. Так как $A{B}^{\prime }\parallel BC$, угол между прямыми $A{C}_1$ и $BC$ тоже равен $60^{\circ }$. Что и требовалось доказать.

б) Радиус основания равен половине диаметра:

$$r=\frac{AC}{2}=1.$$

Образующая цилиндра перпендикулярна основанию, поэтому высота цилиндра равна образующей: $h=C{C}_1=2\sqrt{2}$.

Площадь боковой поверхности цилиндра равна произведению длины окружности основания на высоту:

$$S_{\text{бок}}=2\pi r\cdot h=2\pi \cdot 1\cdot 2\sqrt{2}=4\sqrt{2}\pi .$$

Ответ: б) $4\sqrt{2}\pi$.