На рёбрах BC, AB и AD правильного тетраэдра ABCD отмечены точки L, M… — 15 задание ЕГЭ профиль

№15 Пирамиды средняя развёрнутое

На рёбрах $B C$ , $A B$ и $A D$ правильного тетраэдра $A B C D$ отмечены точки $L$ , $M$ и $N$ соответственно. Известно, что $B L : L C = A M : M B = A N : N D = 1 : 2$ .

а) Докажите, что плоскость $α$ , проходящая через точки $L$ , $M$ , $N$ , делит ребро $C D$ в отношении $2 : 1$ , считая от вершины $C$ .

б) Найдите площадь сечения тетраэдра $A B C D$ плоскостью $α$ , если $A B = 6$ .

Развёрнутое задание второй части — реши на бумаге и сверься с разбором

Разбор — 3 балла

Сечение MNPL — равнобедренная трапеция

а) По условию $A M : M B = A N : N D = 1 : 2$ , поэтому

$\frac{A M}{A B} = \frac{A N}{A D} = \frac{1}{3} .$

Треугольники $A M N$ и $A B D$ имеют общий угол $A$ , а прилежащие к нему стороны пропорциональны, значит, они подобны. Отсюда $∠ A M N = ∠ A B D$ , и по признаку параллельности прямых (равные соответственные углы) $M N ∥ B D$ , причём $M N = \frac{1}{3} B D$ .

Прямая $M N$ параллельна прямой $B D$ плоскости $B C D$ и не лежит в этой плоскости, поэтому $M N ∥ (B C D)$ . Плоскость $α$ проходит через $M N$ и пересекает плоскость $B C D$ (у них есть общая точка $L$ ). Если плоскость проходит через прямую, параллельную другой плоскости, и пересекает её, то линия пересечения параллельна этой прямой. Значит, $α$ пересекает плоскость $B C D$ по прямой, проходящей через $L$ параллельно $M N$ , то есть параллельно $B D$ . Пусть она пересекает ребро $C D$ в точке $P$ .

В треугольнике $C B D$ отрезок $L P$ параллелен стороне $B D$ , по теореме о пропорциональных отрезках

$\frac{C P}{P D} = \frac{C L}{L B} = \frac{2}{1} .$

Значит, плоскость $α$ делит ребро $C D$ в отношении $2 : 1$ , считая от вершины $C$ , что и требовалось доказать.

б) Плоскость $α$ пересекает грани $A B D$ , $A C D$ , $B C D$ , $A B C$ по отрезкам $M N$ , $N P$ , $P L$ , $L M$ , поэтому сечение — четырёхугольник $M N P L$ . Его стороны $M N$ и $L P$ параллельны прямой $B D$ , а значит, параллельны друг другу.

Все рёбра правильного тетраэдра равны $6$ , а все грани — правильные треугольники. Треугольник $C L P$ подобен треугольнику $C B D$ с коэффициентом $\frac{C L}{C B} = \frac{2}{3}$ , поэтому

$M N = \frac{1}{3} B D = 2, L P = \frac{2}{3} B D = 4.$

Так как $M N \neq = L P$ , сечение — трапеция с основаниями $M N$ и $L P$ .

Найдём боковые стороны. В треугольнике $M B L$ : $M B = \frac{2}{3} A B = 4$ , $B L = \frac{1}{3} B C = 2$ , $∠ M B L = 6 0^{\circ}$ . По теореме косинусов

$M L^{2} = M B^{2} + B L^{2} - 2 \cdot M B \cdot B L \cdot cos 6 0^{\circ} = 16 + 4 - 2 \cdot 4 \cdot 2 \cdot \frac{1}{2} = 12, M L = 23 .$

В треугольнике $N D P$ : $N D = \frac{2}{3} A D = 4$ , $D P = \frac{1}{3} C D = 2$ , $∠ N D P = 6 0^{\circ}$ , и точно так же $N P^{2} = 12$ , $N P = 23$ . Боковые стороны равны, трапеция $M N P L$ равнобедренная.

Проведём высоту $N Q$ к большему основанию $L P$ . В равнобедренной трапеции она отсекает от большего основания отрезок, равный полуразности оснований: $P Q = \frac{4 - 2}{2} = 1$ . По теореме Пифагора в треугольнике $N QP$

$N Q = N P^{2} - P Q^{2} = 12 - 1 = 11 .$

Площадь трапеции:

$S_{M N P L} = \frac{M N + L P}{2} \cdot N Q = \frac{2 + 4}{2} \cdot 11 = 311 .$

Ответ: б) $311$ .

ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №15 — пирамиды

Сообщить об ошибке

Ещё задания №15