B правильной треугольной призме ABCA₁B₁C₁ через вершины A₁, B₁ и… — 15 задание ЕГЭ профиль

№15 Призмы средняя 2026 развёрнутое

B правильной треугольной призме $A B C A_{1} B_{1} C_{1}$ через вершины $A_{1},$ $B_{1}$ и середину ребра $B C$ проведена плоскость $α .$

a) Докажите, что сечением призмы плоскостью $α$ будет трапеция.

б) Найдите площадь сечения призмы плоскостью $α,$ если боковое ребро призмы равно 11, а сторона основания равна 16.

Развёрнутое задание второй части — реши на бумаге и сверься с разбором

Разбор — 3 балла

а) Построим сечение. Пусть $P$ — середина ребра $B C$ . Точки $B_{1}$ и $P$ лежат в плоскости грани $B B_{1} C_{1} C$ , поэтому $B_{1} P$ — сторона сечения; отрезок $A_{1} B_{1}$ — сторона сечения в верхнем основании.

Основания призмы лежат в параллельных плоскостях, а если две параллельные плоскости пересечены третьей, то линии пересечения параллельны. Поэтому $α$ пересекает нижнее основание по прямой, проходящей через $P$ параллельно $A_{1} B_{1}$ . Так как $A_{1} B_{1} ∥ A B$ , эта прямая параллельна $A B$ . В треугольнике $A B C$ прямая, проходящая через середину $P$ стороны $B C$ параллельно $A B$ , по теореме Фалеса пересекает $A C$ в её середине $K$ .

Точки $K$ и $A_{1}$ лежат в плоскости грани $A A_{1} C_{1} C$ , соединим их. Сечение — четырёхугольник $A_{1} B_{1} P K$ .

По построению $K P ∥ A_{1} B_{1}$ . Отрезок $K P$ — средняя линия треугольника $A B C$ , поэтому

$K P = \frac{1}{2} A B = \frac{1}{2} A_{1} B_{1} \neq = A_{1} B_{1} .$

Если бы стороны $A_{1} K$ и $B_{1} P$ тоже были параллельны, четырёхугольник был бы параллелограммом, и его противоположные стороны $K P$ и $A_{1} B_{1}$ были бы равны. Это не так, значит, в четырёхугольнике $A_{1} B_{1} P K$ ровно одна пара параллельных сторон, и это трапеция с основаниями $A_{1} B_{1}$ и $K P$ , что и требовалось доказать.

Заметим ещё, что трапеция равнобедренная. Призма правильная, боковые рёбра перпендикулярны основанию, поэтому треугольники $A A_{1} K$ и $B B_{1} P$ прямоугольные. В них $A A_{1} = B B_{1}$ и $A K = B P$ (половины равных сторон основания), значит, треугольники равны по двум катетам и $A_{1} K = B_{1} P$ .

б) По условию $B B_{1} = 11$ , $A B = A_{1} B_{1} = 16$ , тогда $B P = A K = 8$ и $K P = 8$ .

По теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике $B B_{1} P$ :

$B_{1} P = B B_{1}^{2} + B P^{2} = 121 + 64 = 185,$

и по пункту а) $A_{1} K = B_{1} P = 185$ .

Проведём в равнобедренной трапеции $A_{1} B_{1} P K$ высоту $K H$ к большему основанию $A_{1} B_{1}$ . В равнобедренной трапеции основание высоты отсекает от большего основания отрезок, равный полуразности оснований:

$A_{1} H = \frac{A _{1} B _{1} - K P}{2} = \frac{16 - 8}{2} = 4.$

По теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике $A_{1} H K$ :

$K H = A_{1} K^{2} - A_{1} H^{2} = 185 - 16 = 169 = 13.$

Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту:

$S_{A_{1} B_{1} P K} = \frac{A _{1} B _{1} + K P}{2} \cdot K H = \frac{16 + 8}{2} \cdot 13 = 156.$

Ответ: б) $156$ .

ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №15 — призмы

Сообщить об ошибке

Ещё задания №15