ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №15 — пирамиды

Разбор — 3 балла

а) Построим сечение пирамиды плоскостью $\alpha$. Будем пользоваться теоремой: если две параллельные плоскости пересечены третьей, то линии их пересечения параллельны.

Плоскость основания пересекает плоскость $SBC$ по прямой $BC$, значит, плоскость $\alpha$ она пересекает по прямой, проходящей через $M$ параллельно $BC$. Пусть эта прямая пересекает $CD$ в точке $N$. Основание — квадрат, поэтому $MN\parallel BC\parallel AD$, и $AMND$ — прямоугольник. Отсюда $DN=AM=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}CD$, то есть $N$ — середина $CD$.

Плоскость грани $SCD$ пересекает плоскость $SBC$ по прямой $SC$, значит, плоскость $\alpha$ она пересекает по прямой, проходящей через $N$ параллельно $SC$. Точка $K$ лежит в $\alpha$ и на ребре $SD$ плоскости $SCD$, поэтому лежит на этой прямой: $NK\parallel SC$. В треугольнике $SDC$ точка $N$ — середина $DC$, а $NK\parallel CS$. По теореме Фалеса $K$ — середина $SD$, что и требовалось доказать.

Аналогично плоскость $SAB$ пересекает $\alpha$ по прямой $MP\parallel SB$, где $P$ — середина $SA$, и сечение — четырёхугольник $MNKP$.

б) Пирамида правильная, поэтому её высота $SO$ падает в центр $O$ квадрата — точку пересечения диагоналей.

Опустим перпендикуляр $KH$ на плоскость основания. Прямые $KH$ и $SO$ перпендикулярны одной плоскости, поэтому $KH\parallel SO$ и $KH$ лежит в плоскости $SOD$, а точка $H$ — на проекции $OD$ ребра $SD$. В треугольнике $SDO$ точка $K$ — середина $SD$ и $KH\parallel SO$, значит, $KH$ — средняя линия:

$$DH=HO,KH=\frac{1}{2}SO.$$

Найдём $MH$ в плоскости основания. Отрезок $MN$ проходит через центр $O$ квадрата, и $MO=ON=\frac{1}{2}AD=8$, причём $ON\perp DC$. Проведём через $H$ прямую, параллельную $AD$; пусть она пересекает $AB$ и $DC$ в точках $E$ и $F$.

В треугольнике $DNO$ точка $H$ — середина $DO$ и $HF\parallel ON$, поэтому $HF$ — средняя линия: $F$ — середина $DN$ и $FH=\frac{1}{2}NO=4$. Тогда $DF=4$, и так как $AEFD$ — прямоугольник, $AE=DF=4$, $EM=AM-AE=8-4=4$. Кроме того, $EF=AD=16$, поэтому

$$EH=EF-FH=16-4=12.$$

Прямая $EF$ параллельна $AD$, поэтому $EF\perp AB$, и треугольник $MEH$ прямоугольный с прямым углом $E$. По теореме Пифагора

$$MH=\sqrt{E{H}^2+E{M}^2}=\sqrt{144+16}=\sqrt{160}=4\sqrt{10}.$$

Отрезок $KH$ — перпендикуляр к основанию, $MK$ — наклонная, $MH$ — её проекция. Значит, угол между прямой $MK$ и плоскостью основания равен $\angle KMH=45^{\circ }$. Прямоугольный треугольник $KHM$ с острым углом $45^{\circ }$ равнобедренный:

$$KH=MH\cdot \mathrm{tg}45^{\circ }=4\sqrt{10},SO=2KH=8\sqrt{10}.$$

Объём пирамиды:

$$V_{SABCD}=\frac{1}{3}\cdot S_{ABCD}\cdot SO=\frac{1}{3}\cdot 16^2\cdot 8\sqrt{10}=\frac{2048\sqrt{10}}{3}.$$

Ответ: б) $\frac{2048\sqrt{10}}{3}$.