В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD точка O — центр основания ABCD. Точка N делит ребро SD в отношении SN:ND=1:2… — 15 задание ЕГЭ профиль

№15 Пирамиды средняя 2024 развёрнутое

В правильной четырёхугольной пирамиде $S A B C D$ точка $O$ — центр основания $A B C D .$ Точка $N$ делит ребро $S D$ в отношении $S N : N D = 1 : 2.$ Плоскость $α,$ проходящая через точки $O$ и $N$ и параллельная ребру $S A,$ пересекает ребро $S C$ в точке $M .$ Известно, что $S A = A B = 6.$

а) Докажите, что точка $M$ — середина $S C .$

б) Найдите длину отрезка, по которому плоскость $α$ пересечёт грань $B S C .$

Развёрнутое задание второй части — реши на бумаге и сверься с разбором

Разбор — 3 балла

а) Основание правильной пирамиды — квадрат $A B C D$ , поэтому $O$ — точка пересечения его диагоналей, середина $A C$ и $B D$ .

Плоскость $A S C$ проходит через прямую $S A$ и точку $O$ (она лежит на $A C$ ). Плоскость $α$ тоже проходит через $O$ и параллельна $S A$ , поэтому плоскости $α$ и $A S C$ различны и пересекаются по прямой, проходящей через $O$ . Если плоскость проходит через прямую, параллельную другой плоскости, и пересекает эту плоскость, то линия пересечения параллельна данной прямой. Значит, $α$ пересекает плоскость $A S C$ по прямой, проходящей через $O$ параллельно $S A$ .

Точка $M$ лежит в $α$ и на ребре $S C$ плоскости $A S C$ , поэтому лежит на этой прямой: $O M ∥ S A$ . В треугольнике $A S C$ точка $O$ — середина $A C$ , а $O M ∥ A S$ . По теореме Фалеса $M$ — середина $S C$ , что и требовалось доказать.

б) Построим сечение пирамиды плоскостью $α$ . Боковые рёбра правильной пирамиды равны: $S A = S B = S C = S D = 6$ , и стороны основания тоже равны $6$ . Значит, все рёбра пирамиды равны $6$ и боковые грани — правильные треугольники.

Плоскость $A S D$ проходит через прямую $S A$ и точку $N$ плоскости $α$ . По той же теореме $α$ пересекает плоскость $A S D$ по прямой, проходящей через $N$ параллельно $S A$ . Пусть она пересекает ребро $A D$ в точке $L$ . Так как $N L ∥ S A$ , по теореме о пропорциональных отрезках

$\frac{D L}{L A} = \frac{D N}{N S} = \frac{2}{1}, D L = 4, A L = 2.$

Точки $L$ и $O$ лежат и в $α$ , и в плоскости основания, поэтому $α$ пересекает основание по прямой $L O$ . Пусть эта прямая пересекает $B C$ в точке $K$ .

Рассмотрим треугольники $A O L$ и $C O K$ . В них $A O = C O$ , $∠ O A L = ∠ O C K$ как накрест лежащие углы при параллельных прямых $A D$ и $B C$ и секущей $A C$ , $∠ A O L = ∠ C O K$ как вертикальные. Значит, треугольники равны по стороне и двум прилежащим углам, и

$C K = A L = 2.$

Так как $C K < B C$ , точка $K$ лежит на ребре $B C$ . Сечение — четырёхугольник $L N M K$ , а грань $B S C$ плоскость $α$ пересекает по отрезку $M K$ (точка $M$ лежит на $S C$ , точка $K$ — на $B C$ ).

В треугольнике $M C K$ известны $C M = \frac{1}{2} S C = 3$ , $C K = 2$ и угол $∠ M C K = ∠ S C B = 6 0^{\circ}$ (грань $B S C$ — правильный треугольник). По теореме косинусов

$M K^{2} = C M^{2} + C K^{2} - 2 \cdot C M \cdot C K \cdot cos 6 0^{\circ} = 9 + 4 - 2 \cdot 3 \cdot 2 \cdot \frac{1}{2} = 7, M K = 7 .$

Ответ: б) $7$ .

ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №15 — пирамиды

Сообщить об ошибке

Ещё задания №15