В правильной треугольной пирамиде MABC с вершиной M сторона основания… — 15 задание ЕГЭ профиль

№15 Пирамиды сложная 2014 развёрнутое

В правильной треугольной пирамиде $M A B C$ с вершиной $M$ сторона основания $A B$ равна 6. На ребре $A B$ отмечена точка $K$ так, что $A K : K B = 5 : 1.$

a) Докажите, что объем пирамиды делится плоскостью $(M K C)$ в отношении $5 : 1.$

б) Сечение $M K C$ является равнобедренным треугольником с основанием $M K .$ Найдите угол между боковыми гранями пирамиды.

Развёрнутое задание второй части — реши на бумаге и сверься с разбором

Разбор — 3 балла

а) Отрезок $C K$ делит основание $A B C$ на треугольники $A K C$ и $B K C$ , поэтому плоскость $M K C$ делит пирамиду $M A B C$ на две пирамиды $M A K C$ и $M B K C$ с общей вершиной $M$ .

Основания обеих пирамид лежат в плоскости $A B C$ , поэтому их высоты, проведённые из вершины $M$ , совпадают с высотой $h$ пирамиды $M A B C$ . По формуле объёма пирамиды

$\frac{V _{M A K C}}{V _{M B K C}} = \frac{\frac{1}{3} \cdot S _{A K C} \cdot h}{\frac{1}{3} \cdot S _{B K C} \cdot h} = \frac{S _{A K C}}{S _{B K C}} .$

Треугольники $A K C$ и $B K C$ имеют общую высоту, проведённую из вершины $C$ к прямой $A B$ , поэтому их площади относятся как основания:

$\frac{V _{M A K C}}{V _{M B K C}} = \frac{S _{A K C}}{S _{B K C}} = \frac{A K}{K B} = \frac{5}{1} .$

Значит, плоскость $M K C$ делит объём пирамиды в отношении $5 : 1$ , что и требовалось доказать.

б) Так как $A B = 6$ и $A K : K B = 5 : 1$ , то $A K = 5$ , $K B = 1$ . Треугольник $A B C$ правильный, поэтому $B C = 6$ и $∠ K B C = 6 0^{\circ}$ . По теореме косинусов в треугольнике $C K B$ :

$C K^{2} = B C^{2} + B K^{2} - 2 \cdot B C \cdot B K \cdot cos 6 0^{\circ} = 36 + 1 - 2 \cdot 6 \cdot 1 \cdot \frac{1}{2} = 31, C K = 31 .$

Сечение $M K C$ — равнобедренный треугольник с основанием $M K$ , поэтому $C M = C K = 31$ . Боковые рёбра правильной пирамиды равны: $M A = M B = M C = 31$ . Все боковые грани — равные равнобедренные треугольники со сторонами $31$ , $31$ , $6$ , и все двугранные углы при боковых рёбрах равны. Найдём угол между гранями $A M C$ и $B M C$ , то есть двугранный угол при ребре $M C$ .

Проведём в треугольнике $A M C$ высоту $A N$ к стороне $M C$ . Углы этого треугольника при вершинах $C$ и $M$ острые: угол $C$ — угол при основании равнобедренного треугольника, а для угла $M$ по теореме косинусов $cos ∠ A M C = \frac{31 + 31 - 36}{2 \cdot 31} = \frac{13}{31} > 0$ . Поэтому точка $N$ лежит на отрезке $M C$ .

Рассмотрим треугольники $A N C$ и $B N C$ . В них $A C = B C$ , сторона $C N$ общая, а $∠ A C N = ∠ B C N$ , так как треугольники $A M C$ и $B M C$ равны по трём сторонам и $∠ M C A = ∠ M C B$ . Значит, треугольники $A N C$ и $B N C$ равны по двум сторонам и углу между ними. Отсюда

$∠ B N C = ∠ A N C = 9 0^{\circ}, B N = A N .$

Итак, $A N ⊥ M C$ и $B N ⊥ M C$ , причём эти отрезки лежат в гранях $A M C$ и $B M C$ и выходят из одной точки $N$ ребра $M C$ . Следовательно, $∠ A N B$ — линейный угол двугранного угла при ребре $M C$ .

Найдём $B N$ . Треугольник $B M C$ равнобедренный ( $M B = M C$ ), его высота из вершины $M$ делит $B C$ пополам, поэтому

$cos ∠ M C B = \frac{\frac{1}{2} B C}{M C} = \frac{3}{31} .$

В прямоугольном треугольнике $B N C$ :

$C N = B C \cdot cos ∠ M C B = \frac{18}{31}, B N^{2} = B C^{2} - C N^{2} = 36 - \frac{324}{31} = \frac{792}{31} .$

Значит, $A N^{2} = B N^{2} = \frac{792}{31}$ .

Рисунок к решению

Запишем теорему косинусов для треугольника $A N B$ , учитывая, что $A N = B N$ :

$A B^{2} = A N^{2} + B N^{2} - 2 \cdot A N \cdot B N \cdot cos ∠ A N B = 2 B N^{2} (1 - cos ∠ A N B) .$

Отсюда

$cos ∠ A N B = 1 - \frac{A B ^{2}}{2 B N ^{2}} = 1 - \frac{36 \cdot 31}{2 \cdot 792} = 1 - \frac{31}{44} = \frac{13}{44} .$

Косинус положителен, значит, угол $A N B$ острый, и он равен углу между боковыми гранями:

$∠ A N B = arccos \frac{13}{44} .$

Ответ: б) $arccos \frac{13}{44}$ .

ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №15 — пирамиды

Сообщить об ошибке

Ещё задания №15