В правильной треугольной призме ABCA₁B₁C₁ отметили точки M и K на ребрах AA₁ и A₁B₁ соответственно. Известно, что AM=3MA₁… — 15 задание ЕГЭ профиль

№15 Призмы средняя 2025 развёрнутое

В правильной треугольной призме $A B C A_{1} B_{1} C_{1}$ отметили точки $M$ и $K$ на ребрах $A A_{1}$ и $A_{1} B_{1}$ соответственно. Известно, что $A M = 3 M A_{1},$ $A_{1} K = K B_{1} .$ Через точки $M$ и $K$ провели плоскость $α$ перпендикулярно грани $A B B_{1} A_{1} .$

а) Докажите, что плоскость $α$ проходит через вершину $C_{1} .$

б) Найдите площадь сечения призмы $A B C A_{1} B_{1} C_{1}$ плоскостью $α,$ если все ребра призмы равны 12.

Развёрнутое задание второй части — реши на бумаге и сверься с разбором

Разбор — 3 балла

а) Правильная призма — прямая призма, в основании которой лежит правильный треугольник. Сделаем рисунок: на ребре $A A_{1}$ отметим точку $M$ , ближнюю к $A_{1}$ , на ребре $A_{1} B_{1}$ — его середину $K$ , и соединим $K$ с вершиной $C_{1}$ .

Треугольник $A_{1} B_{1} C_{1}$ равносторонний, $K$ — середина $A_{1} B_{1}$ , поэтому $C_{1} K$ — его медиана. В равностороннем треугольнике медиана является высотой, значит, $C_{1} K ⊥ A_{1} B_{1}$ .

Боковое ребро $A A_{1}$ перпендикулярно плоскости основания $A_{1} B_{1} C_{1}$ , поэтому оно перпендикулярно любой прямой этой плоскости, в частности $A A_{1} ⊥ C_{1} K$ .

Прямая $C_{1} K$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым $A_{1} B_{1}$ и $A A_{1}$ плоскости $A B B_{1}$ . По признаку перпендикулярности прямой и плоскости

$C_{1} K ⊥ (A B B_{1}) .$

Теперь рассмотрим плоскость $α$ . Точки $M$ и $K$ лежат и в $α$ , и в плоскости $A B B_{1}$ , поэтому эти плоскости пересекаются по прямой $M K$ . Проведём в плоскости $α$ через точку $K$ прямую $m ⊥ M K$ . По свойству перпендикулярных плоскостей прямая, лежащая в одной из них и перпендикулярная линии их пересечения, перпендикулярна другой плоскости. Значит, $m ⊥ (A B B_{1})$ .

Через точку $K$ проходит единственная прямая, перпендикулярная плоскости $A B B_{1}$ . Обе прямые $m$ и $K C_{1}$ проходят через $K$ и перпендикулярны этой плоскости, поэтому они совпадают. Следовательно, прямая $K C_{1}$ лежит в плоскости $α$ , и вершина $C_{1}$ принадлежит $α$ , что и требовалось доказать.

б) Плоскость $α$ проходит через точки $M$ , $K$ и $C_{1}$ . Она пересекает грань $A B B_{1} A_{1}$ по отрезку $M K$ , верхнее основание — по отрезку $K C_{1}$ , грань $A A_{1} C_{1} C$ — по отрезку $C_{1} M$ (точки $M$ и $C_{1}$ лежат в этой грани). Значит, сечение — треугольник $M K C_{1}$ , отсекающий от призмы вершину $A_{1}$ .

В пункте а) доказано, что $K C_{1} ⊥ (A B B_{1})$ . Прямая $M K$ лежит в этой плоскости, поэтому $K C_{1} ⊥ M K$ , и треугольник $M K C_{1}$ прямоугольный с прямым углом $K$ . Его площадь равна половине произведения катетов:

$S = \frac{1}{2} \cdot M K \cdot C_{1} K .$

Все рёбра призмы равны $12$ . Так как $A_{1} K = K B_{1}$ , то $A_{1} K = 6$ . Так как $A M : M A_{1} = 3 : 1$ , то $A M = 9$ , $M A_{1} = 3$ .

Грань $A B B_{1} A_{1}$ — квадрат, поэтому треугольник $M A_{1} K$ прямоугольный с прямым углом $A_{1}$ . По теореме Пифагора

$M K = M A_{1}^{2} + A_{1} K^{2} = 9 + 36 = 45 = 35 .$

Отрезок $C_{1} K$ — высота равностороннего треугольника со стороной $12$ . По теореме Пифагора в треугольнике $A_{1} K C_{1}$

$C_{1} K = A_{1} C_{1}^{2} - A_{1} K^{2} = 144 - 36 = 108 = 63 .$

Тогда площадь сечения

$S = \frac{1}{2} \cdot 35 \cdot 63 = 915 .$

Ответ: б) $915$ .

ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №15 — призмы

Сообщить об ошибке

Ещё задания №15