В цилиндре образующая перпендикулярна плоскости основания. На окружности одного из оснований цилиндра выбраны точки A, B и C, а… — 15 задание ЕГЭ профиль

№15 Цилиндры средняя развёрнутое

В цилиндре образующая перпендикулярна плоскости основания.
На окружности одного из оснований цилиндра выбраны точки $A$ , $B$ и $C$ , а на окружности другого основания — точка $C_{1}$ , причём $C C_{1}$ — образующая цилиндра, а $A C$ — диаметр основания. Известно, что $∠ A C B = 4 5^{\circ}$ , $A B = 23$ , $C C_{1} = 26$ .

а) Докажите, что угол между прямыми $A C_{1}$ и $B C$ равен $6 0^{\circ}$ .

б) Найдите расстояние от точки $B$ до прямой $A C_{1}$ .

Развёрнутое задание второй части — реши на бумаге и сверься с разбором

Разбор — 3 балла

Цилиндр, квадрат ABCD в основании и прямая AC₁

а) Вписанный угол $A B C$ опирается на диаметр $A C$ , поэтому $∠ A B C = 9 0^{\circ}$ . Тогда $∠ B A C = 9 0^{\circ} - 4 5^{\circ} = 4 5^{\circ} = ∠ A C B$ , треугольник $A B C$ равнобедренный и

$B C = A B = 23 .$

Пусть $O$ — центр основания, а $D$ — точка окружности, диаметрально противоположная $B$ . У четырёхугольника $A B C D$ диагонали $A C$ и $B D$ — диаметры: они равны и делятся точкой $O$ пополам. Значит, $A B C D$ — прямоугольник, а так как $A B = B C$ , это квадрат. Поэтому $A D ∥ B C$ , $A D = C D = 23$ и $C D ⊥ A D$ .

Рисунок к решению

Так как $A D ∥ B C$ , угол между прямыми $A C_{1}$ и $B C$ равен углу между прямыми $A C_{1}$ и $A D$ , то есть $∠ C_{1} A D$ (если он не тупой).

Образующая $C C_{1}$ перпендикулярна плоскости основания: $C C_{1}$ — перпендикуляр, $C_{1} D$ — наклонная, $C D$ — её проекция. Прямая $A D$ лежит в плоскости основания и перпендикулярна проекции $C D$ , поэтому по теореме о трёх перпендикулярах $C_{1} D ⊥ A D$ . Значит, треугольник $A C_{1} D$ прямоугольный с прямым углом $D$ .

Треугольник $C_{1} C D$ прямоугольный ( $C C_{1} ⊥ C D$ ), по теореме Пифагора

$C_{1} D = C D^{2} + C C_{1}^{2} = 12 + 24 = 6.$

В прямоугольном треугольнике $A C_{1} D$ :

$tg ∠ C_{1} A D = \frac{C _{1} D}{A D} = \frac{6}{2 3} = 3 \Rightarrow ∠ C_{1} A D = 6 0^{\circ} .$

Итак, угол между прямыми $A C_{1}$ и $B C$ равен $6 0^{\circ}$ , что и требовалось доказать.

б) Отрезок $C B$ — проекция наклонной $C_{1} B$ на плоскость основания, и $A B ⊥ C B$ . По теореме о трёх перпендикулярах $A B ⊥ C_{1} B$ , то есть треугольник $A B C_{1}$ прямоугольный с прямым углом $B$ . Расстояние от точки $B$ до прямой $A C_{1}$ — это длина перпендикуляра $B H$ , то есть высота этого треугольника, проведённая к гипотенузе.

Рисунок к решению

По теореме Пифагора в треугольнике $B C C_{1}$ (прямой угол $C$ ):

$B C_{1} = B C^{2} + C C_{1}^{2} = 12 + 24 = 6.$

По теореме Пифагора в треугольнике $A B C_{1}$ :

$A C_{1} = A B^{2} + B C_{1}^{2} = 12 + 36 = 43 .$

Высоту к гипотенузе найдём через удвоенную площадь треугольника: $A B \cdot B C_{1} = A C_{1} \cdot B H$ , откуда

$B H = \frac{A B \cdot B C _{1}}{A C _{1}} = \frac{2 3 \cdot 6}{4 3} = 3.$

Ответ: б) $3$ .

ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №15 — цилиндры

Сообщить об ошибке

Ещё задания №15