ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №15 — конусы

Разбор — 3 балла

а) Пусть $O$ — центр основания конуса. Так как $AC$ — диаметр, $O$ — его середина. Высота конуса $SO$ перпендикулярна плоскости основания.

Вписанный угол $ABC$ опирается на диаметр $AC$, поэтому $\angle ABC=90^{\circ }$. В треугольнике $ABC$ точки $O$ и $M$ — середины сторон $AC$ и $BC$, значит, $OM$ — средняя линия: $OM\parallel AB$ и $OM=\frac{1}{2}AB$. Так как $AB\perp BC$, то и $OM\perp BC$.

Найдём угол между прямой $SM$ и плоскостью $ABC$. Отрезок $SO$ — перпендикуляр к этой плоскости, $SM$ — наклонная, $OM$ — её проекция. Угол между наклонной и плоскостью — это угол между наклонной и её проекцией, то есть $\angle SMO$.

Найдём угол между прямой $AB$ и плоскостью $SBC$. Прямая $BC$ перпендикулярна $OM$ и $SO$ (так как $SO$ перпендикулярна всей плоскости основания). Эти прямые пересекаются, поэтому $BC\perp (SOM)$.

Проведём в плоскости $SOM$ высоту $OP$ прямоугольного треугольника $SOM$, $OP\perp SM$; точка $P$ лежит на гипотенузе $SM$. Так как $OP$ лежит в плоскости $SOM$, а $BC\perp (SOM)$, то $OP\perp BC$. Получили, что $OP$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым $SM$ и $BC$ плоскости $SBC$, значит, $OP\perp (SBC)$. Тогда $PM$ — проекция отрезка $OM$ на плоскость $SBC$, и угол между прямой $OM$ и этой плоскостью равен $\angle OMP=\angle OMS$.

Параллельные прямые образуют с плоскостью равные углы. Так как $AB\parallel OM$, угол между $AB$ и плоскостью $SBC$ тоже равен $\angle SMO$. Оба угла из условия равны $\angle SMO$, значит, они равны между собой, что и требовалось доказать.

б) По пункту а) угол между $AB$ и плоскостью $SBC$ равен $\angle SMO$, значит, $\angle SMO=60^{\circ }$.

По теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике $ABC$:

$$AB=\sqrt{A{C}^2-B{C}^2}=\sqrt{100-36}=8,OM=\frac{1}{2}AB=4.$$

Треугольник $SOM$ прямоугольный с прямым углом $O$, поэтому высота конуса

$$SO=OM\cdot \mathrm{tg}\angle SMO=4\cdot \mathrm{tg}60^{\circ }=4\sqrt{3}.$$

Ответ: б) $4\sqrt{3}$.