В цилиндре образующая перпендикулярна плоскости основания.
На окружности одного из оснований цилиндра выбраны точки и , а на окружности другого основания — точки и , причём — образующая цилиндра, а отрезок пересекает ось цилиндра.
а) Докажите, что угол прямой.
б) Найдите угол между прямыми и , если , , .
Развёрнутое задание второй части — реши на бумаге и сверься с разбором
а) Проведём образующую , где — точка окружности того основания, на котором лежат и . Пусть — центр этого основания, — ось цилиндра, а — точка пересечения отрезка с осью.
Рассмотрим плоскость . Она содержит прямую и точку (так как лежит на ). Ось проходит через и параллельна образующей . Прямая, проходящая через точку плоскости параллельно прямой этой плоскости, лежит в ней, поэтому ось лежит в плоскости , и центр принадлежит этой плоскости.
Точки , , лежат одновременно в плоскости и в плоскости основания. Эти плоскости различны ( не лежит в основании), поэтому пересекаются по прямой, и точки , , лежат на одной прямой. При этом : иначе была бы образующей, а образующая параллельна оси и не пересекает её. Значит, хорда проходит через центр, то есть — диаметр основания.
Вписанный угол опирается на диаметр, поэтому , то есть .
Образующая перпендикулярна плоскости основания. Значит, — перпендикуляр, — наклонная, — её проекция на плоскость основания. Прямая лежит в этой плоскости, проходит через основание наклонной и перпендикулярна проекции . По теореме о трёх перпендикулярах , то есть , что и требовалось доказать.
б) Образующие и параллельны и равны, поэтому — параллелограмм, а так как , это прямоугольник. Отсюда
Так как , угол между прямыми и равен углу между прямыми и . Эти прямые пересекаются в точке , и искомый угол — (он острый, так как лежит в прямоугольном треугольнике).
По теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике :
Образующая перпендикулярна основанию, поэтому и треугольник прямоугольный с прямым углом . Тогда
Ответ: б) .