В правильной четырёхугольной пирамиде через ребро провели плоскость , образующую сечение , где точки и — точки пересечения плоскости с боковыми рёбрами и соответственно. Известно, что .
а) Докажите, что точки и делят рёбра и в отношении , считая от вершины .
б) Найдите косинус угла между плоскостью основания и плоскостью .
Развёрнутое задание второй части — реши на бумаге и сверься с разбором
а) Основание правильной пирамиды — квадрат, поэтому . Прямая параллельна прямой плоскости и не лежит в этой плоскости, значит, .
Плоскость проходит через прямую и пересекает плоскость по прямой (точки и принадлежат обеим плоскостям). Если плоскость проходит через прямую, параллельную другой плоскости, и пересекает её, то линия пересечения параллельна этой прямой. Поэтому , а значит, и .
В треугольнике отрезок параллелен стороне , поэтому треугольник подобен треугольнику (угол общий, соответственные углы при параллельных прямых равны). По условию , откуда
Значит, , и ; точно так же , что и требовалось доказать.
б) Пусть , тогда . Боковые рёбра правильной пирамиды равны, обозначим . По пункту а) .
Найдём , выразив косинус угла двумя способами.
Треугольник равнобедренный: . Его высота из вершины является медианой и делит основание пополам, поэтому
Треугольник тоже равнобедренный: . Его высота из вершины делит основание пополам, поэтому
Точка лежит на отрезке , поэтому и — один и тот же угол. Приравняем:
Пусть — центр основания, — высота пирамиды. Отрезок — половина диагонали квадрата: , . По теореме Пифагора в треугольнике
Построим линейный угол двугранного угла между и основанием; эти плоскости пересекаются по прямой . Пусть и — середины и , а — середина .
Пусть медиана треугольника пересекает отрезок в точке . Так как , треугольники и подобны, как и треугольники и , с коэффициентом . Поэтому , то есть — середина и совпадает с . Из того же подобия , а значит, .
Прямая перпендикулярна (медиана равнобедренного треугольника является высотой) и перпендикулярна (так как , а ). Значит, . Отрезок лежит в плоскости , поэтому . Итак, и — перпендикуляры к линии пересечения плоскостей в точке , и — линейный угол двугранного угла.
Рассмотрим плоскость . В ней , — середина , , . Опустим . Тогда , и треугольник подобен треугольнику с коэффициентом :
Точка лежит на отрезке , поэтому угол острый — он и есть угол между плоскостями. Из прямоугольного треугольника :
Ответ: б) .