В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD с основанием ABCD известно, что AB=2… — 15 задание ЕГЭ профиль

№15 Пирамиды средняя 2025 развёрнутое

В правильной четырёхугольной пирамиде $S A B C D$ с основанием $A B C D$ известно, что $A B = 2.$ Через точку $O$ пересечения диагоналей основания перпендикулярно ребру $S C$ провели плоскость $α .$

а) Докажите, что плоскость $α$ проходит через вершины $B$ и $D .$

б) В каком отношении плоскость $α$ делит ребро $S C,$ считая от вершины $S,$ если площадь сечения равна $3 ?$

Развёрнутое задание второй части — реши на бумаге и сверься с разбором

Разбор — 3 балла

а) Пирамида правильная, поэтому $S O ⊥ (A B C)$ , где $O$ — центр квадрата $A B C D$ .

Диагонали квадрата перпендикулярны: $B D ⊥ A C$ . Кроме того, $B D ⊥ S O$ , так как $S O ⊥ (A B C)$ . Прямые $A C$ и $S O$ пересекаются в точке $O$ и лежат в плоскости $S A C$ , поэтому по признаку $B D ⊥ (S A C)$ , а значит, $B D ⊥ S C$ .

Проведём в прямоугольном треугольнике $S O C$ (прямой угол $O$ ) высоту $O K$ к гипотенузе $S C$ ; точка $K$ лежит на отрезке $S C$ . Прямая $S C$ перпендикулярна двум пересекающимся в точке $O$ прямым $B D$ и $O K$ , поэтому $S C ⊥ (B K D)$ .

Плоскость $B K D$ проходит через точку $O$ и перпендикулярна прямой $S C$ . Через данную точку проходит единственная плоскость, перпендикулярная данной прямой, поэтому $(B K D) = α$ . Следовательно, плоскость $α$ проходит через вершины $B$ и $D$ , что и требовалось доказать.

Плоскость $α$ пересекает основание по отрезку $B D$ , а грани $S B C$ и $S C D$ — по отрезкам $B K$ и $K D$ , поэтому сечение — треугольник $B K D$ .

б) Нужно найти $S K : K C$ .

По пункту а) $B D ⊥ (S A C)$ , а $O K$ лежит в этой плоскости, поэтому $B D ⊥ O K$ . Значит, $O K$ — высота треугольника $B K D$ , проведённая к стороне $B D$ :

$S_{B K D} = \frac{1}{2} \cdot B D \cdot O K .$

Так как $A B = 2$ , диагональ квадрата $B D = 22$ и $O C = \frac{1}{2} A C = 2$ . Тогда

$3 = \frac{1}{2} \cdot 22 \cdot O K \Rightarrow O K = \frac{3}{2} = \frac{6}{2} .$

В прямоугольном треугольнике $O K C$ (прямой угол $K$ ):

$cos ∠ K O C = \frac{O K}{O C} = \frac{6}{2 2} = \frac{3}{2} \Rightarrow ∠ K O C = 3 0^{\circ} .$

Катет $K C$ лежит против угла $3 0^{\circ}$ , поэтому $K C = \frac{1}{2} O C = \frac{2}{2}$ , а $∠ O C K = 6 0^{\circ}$ .

В прямоугольном треугольнике $S O C$ угол $O S C = 9 0^{\circ} - 6 0^{\circ} = 3 0^{\circ}$ , и катет $O C$ лежит против него, поэтому $S C = 2 O C = 22$ . Тогда

$S K = S C - K C = 22 - \frac{2}{2} = \frac{3 2}{2}, S K : K C = \frac{3 2}{2} : \frac{2}{2} = 3 : 1.$

Ответ: б) $3 : 1$ .

ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №15 — пирамиды

Сообщить об ошибке

Ещё задания №15