ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №15 — пирамиды

Разбор — 3 балла

а) Отрезок $SO$ — высота пирамиды, $SO\perp (ABC)$. Точка $O$ лежит на $CH$, поэтому $SH$ — наклонная к плоскости $ABC$, а $OH$ — её проекция. Прямая $AB$ лежит в плоскости $ABC$, проходит через основание $H$ наклонной и перпендикулярна проекции $OH$ (так как $CH$ — высота треугольника $ABC$). По теореме о трёх перпендикулярах $AB\perp SH$.

Значит, треугольники $ASH$ и $BSH$ прямоугольные с прямым углом при $H$. По теореме Пифагора

$$A{S}^2=A{H}^2+S{H}^2,B{S}^2=B{H}^2+S{H}^2\Rightarrow A{S}^2-B{S}^2=A{H}^2-B{H}^2.$$

Треугольники $ACH$ и $BCH$ тоже прямоугольные с прямым углом при $H$:

$$A{C}^2=A{H}^2+C{H}^2,B{C}^2=B{H}^2+C{H}^2\Rightarrow A{C}^2-B{C}^2=A{H}^2-B{H}^2.$$

Правые части равны, поэтому $A{C}^2-B{C}^2=A{S}^2-B{S}^2$, что и требовалось доказать.

б) Объём пирамиды:

$$V_{SABC}=\frac{1}{3}\cdot S_{ABC}\cdot SO.$$

Найдём площадь треугольника $ABC$. Сначала выясним, где лежит точка $H$. Так как

$$B{C}^2=325<A{B}^2+A{C}^2=725,A{C}^2=100<A{B}^2+B{C}^2=950,$$

углы $A$ и $B$ треугольника $ABC$ острые, поэтому основание высоты $H$ лежит на отрезке $AB$.

Пусть $AH=x$, тогда $BH=25-x$. Из доказанного в пункте а) равенства $A{H}^2-B{H}^2=A{C}^2-B{C}^2$:

$$x^2-(25-x{)}^2=100-325\iff 50x-625=-225\iff x=8.$$

По теореме Пифагора для треугольника $ACH$:

$$CH=\sqrt{A{C}^2-A{H}^2}=\sqrt{100-64}=6,S_{ABC}=\frac{1}{2}\cdot AB\cdot CH=\frac{1}{2}\cdot 25\cdot 6=75.$$

Найдём высоту пирамиды. По условию $O$ — середина $CH$, поэтому $CO=3$. Треугольник $SOC$ прямоугольный с прямым углом $O$:

$$SO=\sqrt{S{C}^2-C{O}^2}=\sqrt{90-9}=9.$$

Тогда

$$V_{SABC}=\frac{1}{3}\cdot 75\cdot 9=225.$$

Ответ: б) $225$.